Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında veri sayısı tek ise ortadaki sayıya, veri sayısı çift ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına o veri grubunun medyanı (ortanca) denir.
Bir matematik kulübü, yaşları pozitif tam sayılar olan 11 öğrenciye burs vermiştir.
Kulüp başkanı;
Burs verdiğimiz öğrencilerin yaşlarının ortalaması ve medyanı 16’dır.
açıklamasını yapmıştır.
Burs alan 9 öğrencinin yaşları
10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20
olduğuna göre, kalan iki öğrencinin aralarındaki yaş farkı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
Veri Analizi: Aritmetik Ortalama ve Medyan (Ortanca)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Veri sayısı n tek sayı olduğunda, küçükten büyüğe sıralı dizinin tam ortasındaki \frac{n+1}{2}. terim medyandır. Aritmetik ortalama formülü ise \text{Ortalama} = \frac{\text{Toplam Veri}}{\text{Veri Sayısı}} bağıntısıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kalan İki Öğrencinin Yaşları Toplamının Hesaplanması
Gruptaki 11 öğrencinin yaş ortalaması 16 olduğuna göre tüm yaşların toplamı bulunur:
\text{Toplam Yaş} = 11 \times 16 = 176
Verilen 9 öğrencinin yaşları toplamı:
10 + 11 + 12 + 13 + 15 + 17 + 18 + 19 + 20 = 135
Grupta eksik olan iki öğrencinin yaşları x ve y (x \le y) olsun:
x + y = 176 - 135 = 41
Adım 2 — Medyan Konumuna Göre Yaşların Belirlenmesi
11 kişilik bir grupta medyan, küçükten büyüğe sıralandığında 6. sıradaki sayıdır (x_{(6)} = 16).
Mevcut 9 veri incelendiğinde 16’dan küçük 5 sayı (10, 11, 12, 13, 15) ve 16’dan büyük 4 sayı (17, 18, 19, 20) bulunmaktadır.
Dizinin 6. elemanının 16 olabilmesi için, 16’dan küçük tam 5 değer bulunmalı ve ortanca sayı bizzat 16 olmalıdır:
x = 16
y = 41 - 16 = 25
Bu durumda iki öğrencinin yaş farkı:
y - x = 25 - 16 = 9
CEVAP: E) 9 (25 - 16 = 9)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Verilen sayılardan medyanın altında kalanların sayısı (5 adet), hedeflenen medyan sırasına (\frac{11+1}{2} = 6) doğrudan eşit olduğu için eksik sayılardan biri mutlaka medyanın kendisine (16) eşit olmak zorundadır.