Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında gruptaki terim sayısı tek ise ortadaki sayıya ortanca (medyan), veri grubundaki en büyük sayı ile en küçük sayı arasındaki farka açıklık denir.
Bir okulda düzenlenen matematik bilgi yarışmasının puan tablosu henüz ilan edilmediği için okul müdürü, sonuçlarla ilgili aşağıdaki bilgileri paylaşmıştır.
- Yarışmaya katılan beş öğrencinin puanlarının aritmetik ortalaması 74’tür.
- Puanların ortancası 70’tir.
- En yüksek puan ile en düşük puan arasındaki fark 16’dır.
- Yalnızca iki öğrenci aynı puanı almıştır.
- Yarışmayı Ece tek başına birinci olarak tamamlamıştır.
Buna göre Ece’nin yarışmada aldığı puan aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 80
B) 82
C) 84
D) 86
E) 88
Veri Analizi: Medyan, Açıklık ve Aritmetik Ortalama Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
n elemanlı bir veri grubunda aritmetik ortalama \bar{x} = \frac{\text{Toplam Puan}}{n}, açıklık (\text{En Büyük} - \text{En Küçük}) ve medyan küçükten büyüğe sıralı dizilimdeki tam ortanca terimdir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verileri Sıralama ve Toplam Puanı Bulma
Yarışmaya katılan 5 öğrencinin puanları küçükten büyüğe x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5 olsun. Ece tek başına birinci olduğu için x_4 < x_5 ve Ece’nin puanı x_5’tir.
\text{Toplam Puan} = 5 \times 74 = 370
\text{Ortanca (Medyan): } x_3 = 70
\text{Açıklık: } x_5 - x_1 = 16 \implies x_1 = x_5 - 16
Adım 2 — Eşitliği Düzenleme
Bilinenleri toplam puan denkleminde yerine yazalım:
(x_5 - 16) + x_2 + 70 + x_4 + x_5 = 370
2x_5 + x_2 + x_4 + 54 = 370 \implies x_2 + x_4 = 316 - 2x_5
Adım 3 — Aralık Sınırlarını ve Seçenekleri İnceleme
Sıralama kuralına göre x_1 \le x_2 \le 70 \le x_4 < x_5 olmalıdır.
CEVAP: C) 84 (Ece’nin puanı x_5 = 84)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Medyanın 70 olması, en küçük değerin 70’ten büyük veya eşit olamayacağı anlamına gelir (x_1 < 70). Açıklık 16 olduğundan x_5 - 16 < 70 \implies x_5 < 86 eşitsizliği sayesinde üst seçenekler doğrudan elenir.
