Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında gruptaki terim sayısı tek ise ortadaki sayıya, çift ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına o veri grubunun ortancası (medyan) denir.
Tam sayılardan oluşan
2, 7, 10, 21, 38
veri grubuna bu sayılardan ve birbirinden farklı A, B ve A + B tam sayıları ayrı ayrı eklendiğinde elde edilen her bir veri grubunun medyanı her seferde yine bir tam sayı olmaktadır.
Buna göre bu veri grubuna A ve B sayıları aynı anda eklenirse oluşan yeni veri grubunun aritmetik ortalaması kaç olur?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Veri Grubuna Eklenen Sayılar ve Aritmetik Ortalama Problemi
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- Medyan (Ortanca): Eleman sayısı n çift ise medyan, ortadaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır: \text{Medyan} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}
- Aritmetik Ortalama: \text{Aritmetik Ortalama} = \frac{\text{Terimler Toplamı}}{\text{Terim Sayısı}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Orijinal Veri Grubunu ve Medyan Şartını İnceleme
Veri grubu 5 elemanlıdır:
2, 7, 10, 21, 38
Bu gruba herhangi bir x tam sayısı eklendiğinde veri grubunun eleman sayısı 6 (çift) olur.
Medyanın tam sayı olabilmesi için küçükten büyüğe sıralandığında 3. ve 4. sıradaki sayıların toplamının çift sayı olması gerekir.
x sayısının bulunabileceği aralıklara göre 3. ve 4. terimler:
- x \le 7 ise: 3. ve 4. terimler 7 ve 10 olur \rightarrow \text{Medyan} = \frac{7 + 10}{2} = 8{,}5 (Tam sayı değildir).
- 7 < x < 10 ise: 3. ve 4. terimler x ve 10 olur \rightarrow \text{Medyan} = \frac{x + 10}{2} (Tam sayı olması için x çift olmalıdır \rightarrow x = 8).
- 10 < x < 21 ise: 3. ve 4. terimler 10 ve x olur \rightarrow \text{Medyan} = \frac{10 + x}{2} (Tam sayı olması için x çift olmalıdır \rightarrow x \in \{12, 14, 16, 18, 20\}).
- x \ge 21 ise: 3. ve 4. terimler 10 ve 21 olur \rightarrow \text{Medyan} = \frac{10 + 21}{2} = 15{,}5 (Tam sayı değildir).
Buna göre eklenebilecek geçerli x tam sayıları kümesi:
V = \{8, 12, 14, 16, 18, 20\}
Adım 2 — A, B ve A + B Değerlerini Belirleme
A, B ve A + B sayılarının her biri V kümesinin birer elemanıdır ve bu sayılar birbirinden farklıdır:
- V kümesindeki en küçük iki eleman 8 ve 12’dir.
- Toplamları: 8 + 12 = 20
- 20 sayısı da V kümesinde yer alan en büyük elemandır.
Buradan:
A = 8, \quad B = 12 \quad \text{ve} \quad A + B = 20
olarak bulunur (A + B = 8 + 12 = 20).
Adım 3 — A ve B Sayıları Birlikte Eklendiğinde Aritmetik Ortalamayı Hesaplama
- Orijinal grubun terimler toplamı:
\text{Toplam}_1 = 2 + 7 + 10 + 21 + 38 = 78
- A = 8 ve B = 12 sayıları eklendiğinde yeni toplam:
\text{Toplam}_2 = 78 + 8 + 12 = 98
- Yeni gruptaki toplam terim sayısı:
n = 5 + 2 = 7
- Yeni veri grubunun aritmetik ortalaması:
\text{Aritmetik Ortalama} = \frac{98}{7} = 14
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 14
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Medyan (Ortanca)
- Tanım: Küçükten büyüğe sıralanmış bir veri dizisinde terim sayısı tek ise ortadaki terim, çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır.
- Bu problemde: 6 elemanlı dizide ortadaki iki sayının toplamının çift olması gerektiği kuralı kullanılarak A, B ve A+B değerleri sınırlandırılmıştır.
2. Aritmetik Ortalama
- Tanım: Verilerin toplamının veri adedine bölünmesiyle elde edilen merkezi eğilim ölçüsüdür.
- Bu problemde: 7 elemanlı yeni dizinin toplamı olan 98, terim sayısı olan 7’ye bölünmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
x Sayısının Konumunu Yanlış Varsaymak
- Yanlış: Eklenen sayının her zaman listenin sonuna veya başına geleceğini düşünerek medyanı hesaplamak.
- Doğru: Eklenen sayının büyüklüğüne göre sıralamadaki yerini parça parça incelemek.
- Neden yanlış: Medyan sıralı veriye bağlı bir değerdir; elemanın sayısal büyüklüğü sırasını doğrudan değiştirir.
Bu çözüm adımlarında takıldığın bir nokta oldu mu, yoksa benzer bir merkezi eğilim sorusu çözmemi ister misin?