Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında gruptaki terim sayısı tek ise ortadaki sayıya, çift ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına o veri grubunun medyanı (ortanca) denir.
Kare olmayan bir dikdörtgenin her kenarının orta noktası işaretleniyor. İşaretlenen bu noktalardan ikisi arasındaki uzaklığın alabileceği tüm değerlerle 6 terimli bir veri grubu oluşturuluyor.
Bu veri grubunun medyanı 3 olduğuna göre, dikdörtgenin bir köşegen uzunluğu kaç birimdir?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 18
E) 24
Dikdörtgende Orta Noktalar Arasındaki Uzaklıklar ve Medyan Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir dik üçgende Pisagor Teoremi: c = \sqrt{x^2 + y^2}
- n elemanlı bir veri grubunda (n çift ise) Medyan: Ortadaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır: \text{Medyan} = \dfrac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
- Kenarları 2a ve 2b olan dikdörtgenin köşegen uzunluğu: K = \sqrt{(2a)^2 + (2b)^2} = 2\sqrt{a^2+b^2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Orta Noktalar Arasındaki Uzaklıkların Belirlenmesi
Kenar uzunlukları 2a ve 2b olan kare olmayan bir dikdörtgen ele alalım (a \neq b ve genelliği bozmadan a < b olsun).
Bu dikdörtgenin 4 kenarının orta noktaları alındığında, bu noktalardan seçilen herhangi ikisi arasındaki uzaklık sayısı \binom{4}{2} = 6 adettir:
- Komşu kenarların orta noktaları arasındaki uzaklıklar (4 adet):
Kenar orta noktalarını birleştiren doğru parçaları, dik kenarları a ve b olan dik üçgenlerin hipotenüsleridir:d = \sqrt{a^2 + b^2}Bu değerden 4 adet vardır. - Karşılıklı kenarların orta noktaları arasındaki uzaklıklar (2 adet):
Karşılıklı kenarların orta noktaları arasındaki mesafeler dikdörtgenin kenar uzunluklarına eşittir:2a \quad \text{ve} \quad 2b
Adım 2 — Veri Grubunun Sıralanması ve Medyan Hesabı
Oluşan 6 terimli veri grubu şunlardan oluşur:
\{2a, \; 2b, \; d, \; d, \; d, \; d\}
a < b olduğundan, 4b^2 > a^2 + b^2 olur. Dolayısıyla:
2b = \sqrt{4b^2} > \sqrt{a^2 + b^2} = d \implies 2b > d
2a değeri d’den küçük veya büyük olsa dahi grupta 4 tane d değeri bulunduğundan:
- 2a \le d durumunda sıralama: 2a \le d \le \mathbf{d} \le \mathbf{d} \le d \le 2b
- 2a > d durumunda sıralama: d \le d \le \mathbf{d} \le \mathbf{d} \le 2a < 2b
Her iki durumda da 6 terimli veri grubunun küçükten büyüğe sıralanışında 3. ve 4. terimler d olur.
\text{Medyan} = \frac{d + d}{2} = d = 3
Buradan \sqrt{a^2 + b^2} = 3 bulunur.
Adım 3 — Dikdörtgenin Köşegen Uzunluğunun Hesaplanması
Kenarları 2a ve 2b olan dikdörtgenin bir köşegen uzunluğu (K):
K = \sqrt{(2a)^2 + (2b)^2} = \sqrt{4(a^2 + b^2)} = 2\sqrt{a^2 + b^2}
\sqrt{a^2 + b^2} = 3 \implies K = 2 \times 3 = 6 \text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Medyan (Ortanca): Sıralı veri dizisinde ortada kalan değerdir. Çift sayıda terim varken ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması alınır.
- Varignon Paralelkenarı: Bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde oluşan şekil bir paralelkenardır; dikdörtgen için bu şekil bir eşkenar dörtgendir ve tüm kenarları d = \sqrt{a^2+b^2} uzunluğundadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Medyanı bulurken karşılıklı noktalar arasındaki 2a ve 2b mesafelerini hesaba katmayıp yalnızca komşu kenarları almak.- Doğru Yaklaşım: \binom{4}{2} = 6 farklı ikili mesafenin tamamını tespit edip 4 tanesinin eşit (d), 2 tanesinin ise kenar boyları (2a ve 2b) olduğunu görerek medyanı belirlemek.
Bu soru tarzını pekiştirmek için benzer bir istatistik-geometri sorusu daha çözmek ister misin?