Alematlk
64) D
Bir tur şirketi, düzenieyeceği bir gezi için kişi baş
140 TL Ücret talep etmektedir. Kayıt yaptıranların
sayısinin 80’den fazla olması hâlinde, 80’in üzerin-
deki her bir kişi için tüm katılımcilara 50’şer kuruş
10’ar TL geri ödeme yapıliyor ve kişi başı
Buna göre, geziye kaç kişi katılırsa şirketin kati-
130 TL ücret alınmiş oluyor.
limcilardan elde edeceği gelir en fazla olur?
A) 160
B) 165 C) 175 D) 180 E) 185
Bir tur şirketinin gezi gelirini maksimize etme problemi
Kullanılan ifade ve formül:
Başlangıç ücreti kişi başı 140 TL
80 kişi üzerindeki her kişi için tüm katılımcılara 0,50 TL (50 kuruş) geri ödeme yapılacak
Kontenjan 200 kişi ile sınırlı
Örnek: 100 kişi katıldığında kişi başı ücret 130 TL → gelir = 100 × 130 = 13,000 TL
Çözüm adımları:
Adım 1 — Değişken tanımlama ve ücret formülü x = katılımcı sayısı (kişi)
x \leq 80 ise kişi başı ücret 140 TL
x > 80 ise kişi başı ücret azalır. Azalma miktarı:
[(x-80) \times 0.5 \text{ TL}] kişi başı geri ödeme
Herkese aynı miktarda geri ödeme yapıldığı için kişi başı ücret:
140 - 0.5(x - 80)
Adım 2 — Toplam gelir fonksiyonu (gelir = kişi başı ücret × kişi sayısı):
Kontenjan 200 kişi maksimum olduğundan, 80 < x \leq 200 için:
G(x) = x \times \left(140 - 0.5(x - 80)\right)
G(x) = x \times (140 - 0.5x + 40)
G(x) = x \times (180 - 0.5x)
G(x) = 180x - 0.5 x^2
Adım 3 — Geliri maksimize eden x değerini bulma:
G(x) = -0.5x^2 + 180x
Parabolün tepesi (maksimum noktası) için türev alıp sıfıra eşitleriz:
Bir tur şirketi, düzenleyeceği bir gezi için kişi başı 140 TL ücret talep etmektedir. Kayıt yaptıranların sayısının 80’den fazla olması hâlinde, 80’in üzerindeki her bir kişi için tüm katılımcılara 50’şer kuruş geri ödeme yapılmaktadır. Kontenjan 200 kişi ile sınırlıdır. Buna göre, geziye kaç kişi katılırsa şirketin katılımcılardan elde edeceği gelir en fazla olur?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Gelir:R(n)=n \cdot p(n)
Fiyat indirimi: Her fazladan kişi başına tüm katılımcılara 0{,}5 TL indirim (50 kuruş)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fiyat fonksiyonunu kur
Geçerli aralık: n>80 ve n\le 200.
p(n)=140-0{,}5\,(n-80)
=140-0{,}5n+40
=180-0{,}5n
Adım 2 — Gelir fonksiyonunu oluştur
Kurulum:
R(n)=n\cdot p(n)
=n\cdot(180-0{,}5n)
=180n-0{,}5n^{2}
Adım 3 — Maksimumu bul (parabola tepe noktası)
Genel form: R(n)=-0{,}5n^{2}+180n.
Tepeden n değeri:
n=-\dfrac{b}{2a}
=-\dfrac{180}{2\cdot(-0{,}5)}
=-\dfrac{180}{-1}
=180
Bu değer 81\le n\le 200 aralığında olduğundan geçerlidir.
Adım 4 — Son doğrulama (isteğe bağlı)
R(180)=180\cdot180-0{,}5\cdot180^{2}
=(180^{2})(1-0{,}5)
=0{,}5\cdot180^{2}
=0{,}5\cdot32400
=16200\ \text{TL}
R(80)=140\cdot80
=11200\ \text{TL}
16200 TL, 11200 TL’den daha büyük olduğu için n=180 maksimumu doğrular.
Kullanılan ifade ve formül:
Çözüm adımları:
Cevap: D) 180
Önemli Kavramlar:
Yaygın Hatalar:
80’den itibaren geri ödemenin toplam mı yoksa kişi başı mı olduğu karıştırılır.
