Bir torbada 2 kırmızı, 3 siyah top vardır

KPSS
1

Bir torbada 2 kırmızı, 3 siyah top vardır. Arka arkaya 3 top çekiliyor. Her çekilen top torbaya tekrar konuyor.
Buna göre, ilk topun siyah, son topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A) \frac{1}{25}
B) \frac{12}{25}
C) \frac{6}{25}
D) \frac{6}{125}
E) \frac{1}{4}

Bir torbada 2 kırmızı, 3 siyah top vardır.
Bir torbada 2 kırmızı, 3 siyah top vardır.1024×768 77.6 KB

2

İadeli Top Çekme Olasılığı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı:
    P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)
  • Bir olayın olasılığı:
    P(\text{Olay}) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Torbadaki Top Sayısının ve Durumların Belirlenmesi
Torbada 2 kırmızı ve 3 siyah olmak üzere toplam:

2 + 3 = 5 \text{ top vardır.}

Çekilen her top torbaya geri konulduğu için her çekilişte toplam top sayısı ve renk dağılımı değişmez.

İstenen durum:

  • 1. Çekiliş: Siyah top
  • 2. Çekiliş: Herhangi bir top (rengi fark etmez)
  • 3. Çekiliş: Kırmızı top

Adım 2 — Her Bir Çekilişin Olasılığını Hesaplama

    1. topun siyah gelme olasılığı:
    P(\text{Siyah}) = \frac{3}{5}
    1. topun rengi belirtilmediği için torbadan herhangi bir top çekilebilir:
    P(\text{Herhangi biri}) = \frac{5}{5} = 1

    (Veya 2. topun siyah veya kırmızı olduğu iki ayrı durumu toplayabiliriz: \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{18}{125} + \frac{12}{125} = \frac{30}{125} = \frac{6}{25})

    1. topun kırmızı gelme olasılığı:
    P(\text{Kırmızı}) = \frac{2}{5}

Adım 3 — Olayların Birlikte Gerçekleşme Olasılığı
Olaylar bağımsız olduğundan olasılıklar çarpılır:

P = \frac{3}{5} \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{25}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) \frac{6}{25}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Geri Bırakmalı (İadeli) Çekiliş: Çekilen nesne tekrar torbaya konulduğunda evrensel küme ve eleman sayıları sabit kalır; her bir çekiliş birbirinden bağımsızdır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 2. çekiliş soruda açıkça söylenmedi diye toplam çekilişi 2 adım gibi düşünmek ya da 2. çekilişin olasılığını hesaba katarken sadece bir rengi alıp diğerini unutmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: 2. top için herhangi bir kısıtlama verilmediğinden o adımın olasılığı 1’dir veya her iki renk ihtimali de toplanmalıdır.

Bu sorunun “çekilen top torbaya geri konulmaksızın (iadesiz)” versiyonunu da birlikte çözmek ister misin?