Bir tiyatro salonunda bulunan iki koltuğun numaraları XY ve YZ iki basamaklı doğal sayılardır.
Bu koltuk numaralarının, 3 'ün ardışık iki pozitif tam katı olduğu ve XY < YZ eşitsizliğini sağladığı bilinmektedir.
X , Y ve Z birbirinden farklı rakamlar olduğuna göre X + Y + Z toplamı kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
XY ve YZ İki Basamaklı Sayılarının Toplamı ve Rakamları Problemi
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Basamak çözümleme: XY = 10X + Y ve YZ = 10Y + Z
- 3’ün ardışık iki pozitif tam katı arasındaki fark 3’tür: YZ - XY = 3
- 3 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının rakamları toplamı 3’ün katı olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Farkını Basamak Çözümlemesi ile İfade Etme
XY < YZ ve bu sayılar 3’ün ardışık katları olduğundan aralarındaki fark 3’e eşittir:
YZ - XY = 3
Sayıları basamaklarına ayıralım:
(10Y + Z) - (10X + Y) = 3
9Y - 10X + Z = 3
10X = 9Y + Z - 3
Adım 2 — Rakam Değerlerini İnceleme ve Denklemi Çözme
10X ifadesi 10’un katı olduğundan, eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin birler basamağı 0 olmalıdır.
9Y + Z - 3 \equiv 0 \pmod{10}
-Y + Z - 3 \equiv 0 \pmod{10} \implies Z - Y \equiv 3 \pmod{10}
- 1. Durum: Z - Y = 3 \implies Z = Y + 3
Denklemde yerine yazarsak:
10X = 9Y + (Y + 3) - 3 \implies 10X = 10Y \implies X = Y
Soruda X, Y, Z rakamlarının birbirinden farklı olduğu belirtildiğinden X = Y olamaz.
- 2. Durum: Z - Y = -7 \implies Y = Z + 7
Z bir rakam olduğundan olası değerleri test edelim: - Z = 0 ise Y = 7 \implies 10X = 9(7) + 0 - 3 = 60 \implies X = 6
Oluşan sayılar: XY = 67 ve YZ = 70 (Bu sayılar 3’ün katı değildir). - Z = 1 ise Y = 8 \implies 10X = 9(8) + 1 - 3 = 70 \implies X = 7
Oluşan sayılar: XY = 78 ve YZ = 81
78 = 3 \times 26 (3’ün katı)
81 = 3 \times 27 (3’ün katı)
X = 7, Y = 8, Z = 1 rakamları birbirinden farklıdır ve tüm koşulları sağlar. - Z = 2 ise Y = 9 \implies 10X = 9(9) + 2 - 3 = 80 \implies X = 8
Oluşan sayılar: XY = 89 ve YZ = 92 (Bu sayılar 3’ün katı değildir).
Adım 3 — X + Y + Z Toplamını Hesaplama
Bulunan rakam değerleri:
- X = 7
- Y = 8
- Z = 1
X + Y + Z = 7 + 8 + 1 = 16
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 16
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamak Çözümleme
- Tanım: İki basamaklı bir AB sayısının sayı değerinin 10A + B biçiminde yazılmasıdır.
- Bu problemde: XY ve YZ sayıları çözümlenerek aralarındaki fark cebirsel olarak ifade edilmiştir.
2. Ardışık Katlar
- Tanım: Bir k pozitif tam sayısının ardışık iki katı arasındaki fark k’dır.
- Bu problemde: 3’ün ardışık katları olduğu için YZ - XY = 3 eşitliği kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Farkın 3 Olmasını Yeterli Saymak
- Yanlış: Yalnızca YZ - XY = 3 eşitliğini sağlayan X = 6, Y = 7, Z = 0 değerlerini alıp XY = 67, YZ = 70 üzerinden işlem yapmak.
- Doğru: Sayıların aynı zamanda 3’ün pozitif tam katı olduğu (78 ve 81) doğrulanmalıdır.
- Neden yanlış: 67 ve 70 sayılarının farkı 3 olmasına rağmen bu sayılar 3’ün katı değildir.
Benzer bir basamak kavramı veya ardışık sayılar sorusu çözmemi ister misin?