Bir terzinin elinde yapması gereken belli bir adet iş ve bu işleri yapacağı aşağıdaki gibi numaralandırılmış üç makine vardır.
Terzi eline 12 adet daha iş gelirse bütün işleri makinelere numaralarıyla orantılı şekilde, eğer elindeki 13 adet işi yapmadan kalan işleri makinelere dağıtırsa ters orantılı olacak şekilde paylaştırabiliyor.
Terzinin elindeki iş sayısı 500’den azdır.
Terzinin Başlangıçtaki İş Sayısının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Doğru Orantı: a, b, c sayıları ile doğru orantılı paylaştırmada toplam miktar (a + b + c) \cdot k katı olmalıdır.
- Ters Orantı: a, b, c sayıları ile ters orantılı paylaştırmada paylar \text{EKOK}(a, b, c) üzerinden belirlenir ve payların toplamının bir tam katı olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Doğru Orantı Durumunun İncelenmesi
Terzinin başlangıçtaki iş sayısına x diyelim.
- Terziye 12 iş daha gelirse toplam iş sayısı: x + 12 olur.
- Bu işler 3, 4 ve 9 ile doğru orantılı dağıtıldığında makinelere düşen iş miktarları sırasıyla 3k, 4k ve 9k olur.
x + 12 = 3k + 4k + 9k = 16k
Buradan x + 12 sayısının 16’nın tam katı olduğunu anlarız. Dolayısıyla x, 16’ya bölündüğünde 4 kalanını vermelidir:
x \equiv 4 \pmod{16}
Adım 2 — Ters Orantı Durumunun İncelenmesi
- Terzi elindeki 13 işi yapmadan kalan işleri dağıtırsa toplam iş sayısı: x - 13 olur.
- İşler 3, 4 ve 9 sayıları ile ters orantılı paylaştırılacaktır.
\text{EKOK}(3, 4, 9) = 36 olduğundan: - 3 numaralı makine: \frac{36}{3} \cdot m = 12m
- 4 numaralı makine: \frac{36}{4} \cdot m = 9m
- 9 numaralı makine: \frac{36}{9} \cdot m = 4m
Toplam kalan iş:
x - 13 = 12m + 9m + 4m = 25m
Buradan x - 13 sayısının 25’in tam katı olduğunu anlarız:
x \equiv 13 \pmod{25}
Adım 3 — Koşulları Sağlayan x Değerinin Hesaplanması
x = 25m + 13 eşitliğini 16’ya bölündüğünde 4 kalanını verecek şekilde inceleyelim:
- m = 15 için:
x = 25 \cdot 15 + 13 = 375 + 13 = 388
Değerin doğrulanması:
- 388 + 12 = 400 \rightarrow 400 = 16 \times 25 (16’nın tam katı)
- 388 - 13 = 375 \rightarrow 375 = 25 \times 15 (25’in tam katı)
Adım 4 — 500’den Az Olma Şartının Kontrolü
Ortak kat periyodu \text{EKOK}(16, 25) = 400’dür.
Bir sonraki olası değer:
388 + 400 = 788
İş sayısının 500’den az olduğu belirtildiğinden x = 388 tek uygun çözümdür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Terzinin elindeki iş sayısı 388 adettir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğru ve Ters Orantı Dağılımı
- Tanım: Doğru orantıda paylar sayılarla çarpım, ters orantıda ise sayıların ortak katına bölüm katsayısıyla belirlenir.
- Bu problemde: Ters orantı katsayıları \text{EKOK}(3, 4, 9) = 36 üzerinden 12, 9, 4 olarak hesaplanmış ve toplam 25 birim bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Ters Orantıda Sayıları Doğrudan Toplamak
- Yanlış: Ters orantıda payları 3 + 4 + 9 = 16 kabul etmek.
- Doğru: Ters orantıda \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} payda eşitlemesi yaparak katsayıları 12, 9, 4 toplamı (25) olarak almak.
- Neden yanlış: Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir; bu nedenle büyük numaralı makine daha az iş alır.
Bu soruda her bir makinenin kaçar adet iş yaptığını detaylı olarak hesaplamamı ister misin?