Bir tel, her defasında 2 eş parçaya ayrılacak şekilde kesiliyor ve yarısı atılıp kalan parça ile aynı işlem devam

Question Answer
1

Bir tel, her defasında 2 eş parçaya ayrılacak şekilde kesiliyor ve yarısı atılıp kalan parça ile aynı işlem devam ediliyor.
Buna göre en az kaçıncı işlemde kalan parça, başlangıçtaki telin \frac{1}{1000}'inden az olur?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11

Bir tel, her defasında 2 eş parçaya ayrılacak şekilde kesiliyor ve yarısı atılıp kalan...
Bir tel, her defasında 2 eş parçaya ayrılacak şekilde kesiliyor ve yarısı atılıp kalan...1024×768 58.4 KB

2

Tel Kesme ve Üslü İfadeler Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Başlangıçtaki telin boyu L kabul edilirse, her adımda telin yarısı kaldığından n. işlem sonundaki tel miktarı:

\text{Kalan Parça} = L \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{L}{2^n}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Yapılan İşlemi Matematiksel Olarak Modelleme
Her kesme işleminde tel 2 eşit parçaya ayrılıp yarısı atıldığı için, her adımda eldeki tel boyu bir önceki adımın \frac{1}{2} katı olur:

  • 1. işlem sonunda: \frac{L}{2^1}
  • 2. işlem sonunda: \frac{L}{2^2}
  • 3. işlem sonunda: \frac{L}{2^3}
  • n. işlem sonunda: \frac{L}{2^n}

Adım 2 — Eşitsizliği Kurma
n. işlem sonunda kalan parçanın, başlangıçtaki telin \frac{1}{1000}'inden küçük olması istenmektedir:

\frac{L}{2^n} < \frac{L}{1000}

Her iki tarafı L’ye bölüp ters çevirdiğimizde eşitsizlik yön değiştirir:

2^n > 1000

Adım 3 — 2’nin Kuvvetlerini İnceleme ve En Küçük n Değerini Bulma
2’nin ardışık kuvvetlerini kontrol edelim:

  • 2^8 = 256
  • 2^9 = 512
  • 2^{10} = 1024

n = 9 için 512 < 1000 olduğundan telin kalan kısmı \frac{1}{1000}'den fazladır (\frac{1}{512} > \frac{1}{1000}).
n = 10 için 1024 > 1000 olduğundan telin kalan kısmı ilk kez \frac{1}{1000}'den az olur (\frac{1}{1024} < \frac{1}{1000}).

Dolayısıyla bu durum en az 10. işlemde gerçekleşir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Üslü Azalma (Yarıya İnme): Bir büyüklük her defasında yarıya indirildiğinde n. adımdaki değer başlangıcın \frac{1}{2^n} katıdır.
  • Ters Orantılı Eşitsizlik: Payları eşit olan pozitif kesirlerde paydası büyük olan kesir daha küçüktür (1024 > 1000 \implies \frac{1}{1024} < \frac{1}{1000}).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 2^9 = 512 sayısının 1000’e yakın olduğu için 9. adımda hedefe ulaşıldığını düşünmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: \frac{1}{512} kesri \frac{1}{1000}'den büyüktür; \frac{1}{1000}'den daha küçük bir parça elde etmek için paydanın 1000’den büyük olması (2^{10} = 1024) gerekir.

Bu soru tarzını daha iyi pekiştirmek için telin her defasında \frac{1}{3}'inin kesildiği benzer bir örnek çözmek ister misin?