Bir tel, her defasında 2 eş parçaya ayrılacak şekilde kesiliyor ve yarısı atılıp kalan parça ile aynı işlem devam ediliyor.
Buna göre en az kaçıncı işlemde kalan parça, başlangıçtaki telin \frac{1}{1000}'inden az olur?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
Tel Kesme Problemi ve Üslü İfadeler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir çokluk her adımda yarıya iniyorsa, n işlem sonundaki parça:
\text{Kalan Parça Oranı} = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n}
İstenen eşitsizlik:
\frac{1}{2^n} < \frac{1}{1000} \iff 2^n > 1000
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Her Adımdaki Parça Oranını Belirleme
Başlangıçtaki telin uzunluğunu 1 birim kabul edelim.
- 1. işlem sonunda kalan: \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}
- 2. işlem sonunda kalan: \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}
- 3. işlem sonunda kalan: \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}
- n. işlem sonunda kalan: \frac{1}{2^n} olur.
Adım 2 — Eşitsizliği Kurma ve 2’nin Kuvvetlerini İnceleme
Kalan parçanın, başlangıçtaki telin \frac{1}{1000}'inden az olması istendiğinden:
\frac{1}{2^n} < \frac{1}{1000}
Payları 1 olan pozitif kesirlerde, paydası büyük olan kesir daha küçüktür. Dolayısıyla:
2^n > 1000
2’nin ardışık kuvvetlerini kontrol edelim:
- 2^8 = 256
- 2^9 = 512
- 2^{10} = 1024
Adım 3 — En Küçük n Değerini Bulma
- n = 9 için: Kalan parça \frac{1}{512} olup, \frac{1}{512} > \frac{1}{1000} dir (şart sağlanmaz).
- n = 10 için: Kalan parça \frac{1}{1024} olup, \frac{1}{1024} < \frac{1}{1000} dir (şart sağlanır).
Buna göre tel en az 10 defa kesilmelidir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üslü Azalma (Yarılanma): Bir miktarın sürekli yarıya inmesi geometrik bir azalmadır ve 2^{-n} ifadesi ile modellenir.
- Birim Kesirlerde Sıralama: Payları eşit pozitif kesirlerde payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür (\frac{1}{1024} < \frac{1}{1000}).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 2^9 = 512 değerini 1000’e en yakın sayı diye seçip cevabı 9 bulmak.- Doğru Yaklaşım: \frac{1}{512}, \frac{1}{1000}'den küçük değil, aksine daha büyüktür. Değerin \frac{1}{1000}'den küçük olması için paydanın 1000’den büyük olması gerekir (1024 > 1000).
Benzer mantıkta, kalan parçanın \frac{1}{2000}'den az olması için gereken adım sayısını hesaplamak ister misin?
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Tel Kesme Problemi — Kısa Çözüm
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Her adımda parça yarıya indiği için n işlem sonunda kalan oran:
\frac{1}{2^n}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitsizliği Kurma ve İnceleme
Kalan parçanın \frac{1}{1000}'den küçük olması için:
\frac{1}{2^n} < \frac{1}{1000} \implies 2^n > 1000
- n = 9 için: 2^9 = 512 (512 < 1000, sağlamaz)
- n = 10 için: 2^{10} = 1024 (1024 > 1000, sağlar)
Dolayısıyla en az 10 işlem yapılmalıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Anlaşılmayan bir nokta var mı, başka bir soruyu inceleyelim mi?