Bir teknoloji fuarında ziyaretçilere dağıtılmak üzere, 118 adet hediyelik anahtarlık hazırlanmıştır. Organizatörlerden biri üzerinde 1’den 20’ye kadar numaralar yazılı jetonlar bulunan bir kutudan bir jeton çektikten sonra çekilen jetonda yazan sayı kadar tanıtım standı açılacaktır. Anahtarlık stantlara her standa eşit olacak ve mümkün olan en fazla sayıda dağıtılacak şekilde paylaştırılacaktır.
Dağıtılamayan anahtarlıklar ise tekrar depoya konulacaktır.
Dağıtım sonunda depoya konulan anahtarlık sayısı 6 olduğuna göre çekilen jetonda yazan sayı kaç farklı değer olabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Bölme Algoritması ve Kalan Bağıntısı ile Değer Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir bölme işleminde bölünen A, bölen B, bölüm C ve kalan K olmak üzere A = B \cdot C + K eşitliği sağlanır ve temel bölme kuralı gereği kalan daima bölenden küçük olmalıdır (0 \le K < B).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Problemin Matematiksel Olarak Modellenmesi
Çekilen jetondaki sayı n olsun (1 \le n \le 20). Toplam 118 anahtarlık n tane standa eşit olarak paylaştırıldığında artan (depoya giden) anahtarlık sayısı 6 olduğuna göre:
118 = n \cdot k + 6 \quad (k \in \mathbb{Z}^+)
Buradan n \cdot k = 118 - 6 = 112 bulunur. Dağıtım kuralı gereğince kalan miktar stant sayısından küçük olmak zorundadır:
n > 6
Adım 2 — 112’nin Pozitif Bölenlerinin ve Uygun Değerlerin Bulunması
n sayısı 112’nin tam böleni olmalı ve 6 < n \le 20 aralığında bulunmalıdır. 112 = 2^4 \cdot 7 sayısının tüm pozitif tam sayı bölenleri:
\{1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112\}
Bu bölenler arasından 6 < n \le 20 şartını sağlayan değerler:
n \in \{7, 8, 14, 16\}
Dolayısıyla jeton numarası 4 farklı değer alabilir.
CEVAP: C) 4 (n \in \{7, 8, 14, 16\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kalanlı bölme sorularında en sık düşülen hata, K < B (6 < n) kuralını unutarak 1, 2 ve 4 bölenlerini de çözüme dahil etmektir. Kalan anahtarlık sayısı 6 ise stant sayısı kesinlikle 6’dan büyük olmalıdır.