Bir tasarımcı, paralelkenar biçimindeki birbirine eş üç renkli paneli şekildeki gibi yerleştirerek bir duvar süslemesi hazırlamıştır. Her bir panelin çevresi 12 metre olup A , B ve C noktaları aynı doğru üzerindedir.
Tasarımcı, süslemeyi tamamlamak için D ve C köşeleri arasına düz bir LED şerit yerleştirecektir.
Buna göre kullanılacak LED şeridin uzunluğu kaç metre olmalıdır?
A) 4\sqrt{3}
B) 6
C) 6\sqrt{3}
D) 8
E) 12
Eşkenar Dörtgende Köşegen ve Pisagor Bağıntısı ile Uzunluk Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Birbirine eş paralelkenarların komşu kenarları simetrik yerleşimden dolayı eşit olduğunda bu şekiller birer eşkenar dörtgen belirtir. Bir kenarı a ve dar açısı 60^\circ olan eşkenar dörtgende uzun köşegen a\sqrt{3} bağıntısıyla bulunur; dik kesişen doğrultularda ise Pisagor Teoremi (c^2 = a^2 + b^2) uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kenar Uzunluklarının ve Şeklin Geometrisinin Belirlenmesi
Paneller birbirine eş olup duvara simetrik bir düzende yerleştirilmiştir. Ortadaki panelin B köşesinden çıkan iki komşu kenarı, sağ ve sol panellerle birebir çakıştığından kenar uzunlukları birbirine eşittir. Dolayısıyla paneller birer eşkenar dörtgendir.
\text{Çevre} = 4a = 12\text{ m} \implies a = 3\text{ m}
Adım 2 — B Köşesindeki Açıların Hesaplanması
A, B ve C noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan B noktasındaki toplam açı 180^\circ’dir. Birbirine eş üç panelin dar açıları B noktasında yan yana geldiğinden:
\alpha = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ
Adım 3 — [BD] Köşegen Uzunluğu ve Doğrultusunun Bulunması
Ortadaki eşkenar dörtgende [BD] köşegeni, B köşesindeki 60^\circ’lik açıyı 30^\circ - 30^\circ olarak ikiye böler.
- [BD] doğru parçasının BC taban doğrusu ile yaptığı açı: 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ olur, yani [BD] \perp [BC]'dir.
- Kenar uzunluğu 3\text{ m} ve dar açısı 60^\circ olan eşkenar dörtgenin uzun köşegen uzunluğu:
|BD| = 2 \cdot \left(3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{3}\text{ m}
Adım 4 — DBC Dik Üçgeninde Pisagor Bağıntısı
|BD| = 3\sqrt{3}\text{ m} ve tabandaki panel kenarı |BC| = 3\text{ m} olup m(\widehat{DBC}) = 90^\circ olduğundan DBC dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır:
|DC|^2 = |BD|^2 + |BC|^2
|DC|^2 = (3\sqrt{3})^2 + 3^2 = 27 + 9 = 36
|DC| = 6\text{ m}
CEVAP: B) 6 (|DC| = 6\text{ m})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ özel dik üçgeninde 30^\circ’nin karşısı 3\text{ m}, 60^\circ’nin karşısı 3\sqrt{3}\text{ m} olduğunda hipotenüsün (|DC|) doğrudan 30^\circ’nin karşısındaki kenarın iki katı (2 \times 3 = 6\text{ m}) olduğunu görerek Pisagor işlemi yapmadan da pratikçe sonuca ulaşabilirsiniz.