Bir tasarımcı, bir panoya eşit uzunluktaki AB ve DC ışık çubuklarını, yatay referans çizgisi d 'ye dik olacak biçimde

Question Answer
1

Bir tasarımcı, bir panoya eşit uzunluktaki AB ve DC ışık çubuklarını, yatay referans çizgisi d 'ye dik olacak biçimde yerleştiriyor. Çubukların A ve C uçları üstte, B ve D uçları alttadır.
Tasarım çiziminde [AD] ve [BC] doğru parçalarının kesiştiği nokta E olup B , E ve D noktalarının d çizgisine uzaklıkları sırasıyla 4 cm , 11 cm ve 8 cm’dir.
Tasarımcı, uzunluğu ayarlanabilen sağdaki ışık çubuğunun D ucunu sabit tutup C ucunu aşağı kaydırarak C' noktasına getiriyor. Bu işlem sonunda A ve C' noktaları aynı yatay hizaya geliyor.
[AD] ile [BC'] doğru parçaları F noktasında kesiştiğine göre F noktasının d referans çizgisine uzaklığı kaç cm’dir?
A) \frac{41}{4}
B) 10
C) \frac{39}{4}
D) \frac{19}{2}
E) 19

Bir tasarımcı, bir panoya eşit uzunluktaki AB ve DC ışık çubuklarını, yatay referans...
Bir tasarımcı, bir panoya eşit uzunluktaki AB ve DC ışık çubuklarını, yatay referans...836×800 185 KB

2

Benzerlik ve Doğrusal Fonksiyonlar ile Kesişim Noktası Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Birbirine paralel ve eşit uzunluktaki iki doğru parçası bir paralelkenar oluşturur; paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar (\text{Orta Nokta: } y_{\text{orta}} = \frac{y_1 + y_2}{2}). İki doğrunun kesişim noktasının ordinatı ise doğru denklemlerinin ortak çözümünden veya Thales benzerlik teoreminden elde edilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Çubukların Boyunu ve A Noktasının Yüksekliğini Bulma
AB ve DC çubukları d doğrusuna dik olduğundan birbirine paraleldir. Boyları da eşit (|AB| = |DC|) olduğundan ABDC dörtgeni bir paralelkenardır.
Paralelkenarda köşegenler birbirini ortaladığından, kesişim noktası olan E, [AD] ve [BC] doğru parçalarının orta noktasıdır:

y_E = \frac{y_A + y_D}{2} \implies 11 = \frac{y_A + 8}{2} \implies y_A = 14\text{ cm}

B noktasının yerden yüksekliği 4\text{ cm} olduğundan çubukların boyu 14 - 4 = 10\text{ cm} olur.

Adım 2 — Yeni Konumdaki Doğruların Denklemlerini Kurma
C ucu C' noktasına kaydırıldığında A ve C' aynı yatay hizaya geldiği için y_{C'} = y_A = 14\text{ cm} olur.
AB çubuğunun yatay konumunu x = 0, DC çubuğunun yatay konumunu x = 1 kabul edersek:

  • [AD] doğrusu: (0, 14) ve (1, 8) noktalarından geçer \implies y = 14 - 6x
  • [BC'] doğrusu: (0, 4) ve (1, 14) noktalarından geçer \implies y = 4 + 10x

Adım 3 — Kesişim Noktası F’nin d Çizgisine Uzaklığını Hesaplama
F noktası bu iki doğrunun kesişiminde yer aldığından denklemler eşitlenir:

14 - 6x = 4 + 10x \implies 16x = 10 \implies x = \frac{5}{8}

Bulunan x değeri yerine yazılarak F noktasının ordinatı (y_F) bulunur:

y_F = 4 + 10 \cdot \left(\frac{5}{8}\right) = 4 + \frac{25}{4} = \frac{41}{4}\text{ cm}

:white_check_mark: CEVAP: A) \frac{41}{4} (y_F = \frac{41}{4}\text{ cm})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Karşılıklı kenarları paralel ve eşit olan şekillerde köşegenlerin birbirini ortaladığı gerçeği, analitik koordinat yerleştirmesiyle birleştiğinde kelebek benzerliği adımlarını kısaltarak doğrudan sonuca ulaştırır.

3

@Akademik_Rehber adım 2yi görsel çizip anlatır mısın

4

Adım 2’de yapılan işlem, çubukların konumlarını bir dik koordinat düzlemine oturtarak doğruların denklemlerini bulmaktır.

Görsel Çizim ve Model

  y (cm)
   |
14 |--- A (0, 14) ------------ C' (1, 14)   <-- A ve C' aynı yatay hizada (y = 14)
   |     \                    / |
   |      \                  /  |
   |       \                /   |
   |        \              /    |
   |         \   F        /     |           <-- Kesişim noktası F
   |          \  |       /      |
   |           \ |      /       |
 8 |            \|     /        D (1, 8)    <-- D noktası (y = 8)
   |             \    /
   |              \  /
 4 |--- B (0, 4) --\/--------------------   <-- B noktası (y = 4)
   |
   |
 0 +----------------------------+----------> x
       AB Çubuğu                DC Çubuğu
        (x = 0)                  (x = 1)
   ------------------ d çizgisi ------------------

Açıklama

  1. Koordinat Sistemi Tanımı:

    • Yataydaki d referans çizgisi x ekseni (y = 0) olarak kabul edilir.
    • Soldaki AB çubuğunun bulunduğu düşey doğruya x = 0, sağdaki DC çubuğunun bulunduğu düşey doğruya da işlem kolaylığı için x = 1 denir (aradaki mesafeye 1 birim dedik).

  2. Noktaların Koordinatları:

    • B noktasının yüksekliği 4\text{ cm} olduğundan: B(0, 4)
    • A noktasının yüksekliği Adım 1’den 14\text{ cm} bulunduğundan: A(0, 14)
    • D noktasının yüksekliği 8\text{ cm} olduğundan: D(1, 8)
    • C' noktası, A ile aynı yatay hizaya geldiği için yüksekliği 14\text{ cm} olur: C'(1, 14)

  3. Doğruların Denklemleri:

    • [AD] Doğrusu: (0, 14) noktasından başlayıp x = 1 konumunda y = 8’e iner.
      • Eğim: m = \frac{8 - 14}{1 - 0} = -6
      • Denklem: y = 14 - 6x
    • [BC'] Doğrusu: (0, 4) noktasından başlayıp x = 1 konumunda y = 14’e çıkar.
      • Eğim: m = \frac{14 - 4}{1 - 0} = 10
      • Denklem: y = 4 + 10x