Bir süpürgenin dayanıklılık indeksi 7 olduğuna göre en fazla kaç metre yükseklikten bırakılmıştır?
Sorunun Özeti:
Bir süpürge markası, dikey süpürgelerini düşme dayanıklılık testine tabi tutuyor.
- Dayanıklılık indeksi: Bırakılma yüksekliğini metre cinsinden gösteriyor.
- Eğer sayı tam kare ise, dayanıklılık indeksi o sayının karekökü.
- Eğer tam kare değilse, karekök değerine en yakın tam sayı dayanıklılık indeksi oluyor.
Test için alınan süpürgenin dayanıklılık indeksi 7 olarak verilmiş.
Sorunun Amacı:
Dayanıklılık indeksi 7 olan süpürge en fazla kaç metre yükseklikten bırakılmıştır?
Çözüm Adımları:
-
Dayanıklılık indeksi 7 ise, bırakılma yüksekliği sayısının karekökü 7’ye en yakın tam sayı olmalıdır.
-
7’nin karesi alınır:
7^2 = 49 -
Bırakılma yüksekliği tam kare ise 49 metre olur.
- Bu durumda dayanıklılık indeksi tam olarak 7 olur.
-
Eğer tam kare değilse, karekökü 7’ye en yakın tam sayı olan bir sayı aranır.
- Örneğin, \sqrt{48} \approx 6.93 (yaklaşık 7)
- \sqrt{56} \approx 7.48 (7’ye daha uzak)
- \sqrt{57} \approx 7.55 (7’ye daha uzak)
-
Ancak soruda en fazla kaç metre yükseklikten bırakılmıştır diye sorulduğu için, en büyük sayı seçilmelidir.
-
Dayanıklılık indeksi 7 olan süpürge, bırakılma yüksekliği olarak 49 metreyi tam kare olarak alabilir.
- Çünkü 49 tam kare ve karekökü 7’dir.
-
Diğer seçenekler tam kare olmadığından ve 7’ye en yakın tam sayı 7 olduğundan, en fazla bırakılma yüksekliği 49 metredir.
Sonuç:
| Seçenek | Sayı | Kareköklü Değeri | 7’ye Yakınlık | Tam Kare mi? |
|---|---|---|---|---|
| A | 48 | 6.93 | Yakın | Hayır |
| B | 49 | 7 | Tam | Evet |
| C | 56 | 7.48 | Uzak | Hayır |
| D | 57 | 7.55 | Uzak | Hayır |
Doğru cevap: B) \sqrt{49}
Özet: Dayanıklılık indeksi 7 olan süpürge, en fazla 49 metre yükseklikten bırakılmıştır. Çünkü 49 tam kare bir sayıdır ve karekökü tam olarak 7’dir.
Soru:
Test için alınan bir süpürgenin dayanıklılık indeksi 7 olduğuna göre bu süpürge en fazla kaç metre yükseklikten bırakılmıştır?
Table of Contents
- Problemin Tanımı
- Dayanıklılık İndeksinin Tanımı
- Matematiksel Modelleme
- Şıklara Göre İnceleme
- Sonuç ve Doğru Şık
- Özet Tablosu
1. Problemin Tanımı
- Bir süpürge markası, ürünlerini satışa sunmadan önce düşme dayanıklılık testi uyguluyor.
- Düşme yüksekliği metre cinsinden bir sayı ile gösteriliyor.
- Bu sayının tam kare olup olmadığına göre dayanıklılık indeksi hesaplanıyor.
- Test edilen süpürgenin dayanıklılık indeksi 7 olarak bulunmuştur.
- Soru: Bu indeksi veren en büyük düşme yüksekliği (metre olarak) nedir?
2. Dayanıklılık İndeksinin Tanımı
- Eğer düşme yüksekliği tam kare ise indeks, o sayının kareköküdür.
- Eğer tam kare değilse indeks, \sqrt{\text{yükseklik}} değerinin en yakın tam sayıya yuvarlanmasıyla bulunur.
- Örnek:
- Yükseklik = 49 ise indeks = \sqrt{49} = 7.
- Yükseklik = 48 ise \sqrt{48}\approx 6{,}928, en yakın tam sayı 7’dir.
3. Matematiksel Modelleme
Dayanıklılık indeksi D olsun, düşme yüksekliği h metre.
- Tam kare durumunda:
D = \sqrt{h} (tam sayı). - Tam kare değilse:
D = \mathrm{round}\bigl(\sqrt{h}\bigr), burada round en yakın tam sayıya yuvarlamadır.
Bizim durumda D = 7. Yani
\mathrm{round}\bigl(\sqrt{h}\bigr) = 7
Bu eşitlik, \sqrt{h} değerinin 6{,}5 ile 7{,}5 arasında olması demektir.
Buna göre:
6{,}5 ≤ \sqrt{h} < 7{,}5
⇒ (6{,}5)^2 ≤ h < (7{,}5)^2
⇒ 42{,}25 ≤ h < 56{,}25
h bir tam sayı olarak test ediliyor. Dolayısıyla h en fazla 56 olabilir.
4. Şıklara Göre İnceleme
Elimizdeki şıklar düşme yüksekliğinin \sqrt{\dots} biçiminde verilmiş hâlindedir:
| Şık | İfade | İçindeki Sayı h | \sqrt{h} Değeri | \mathrm{round}(\sqrt{h}) |
|---|---|---|---|---|
| A | \sqrt{48} | 48 | 6{,}928 | 7 |
| B | \sqrt{49} | 49 | 7{,}000 | 7 |
| C | \sqrt{56} | 56 | 7{,}483 | 7 |
| D | \sqrt{57} | 57 | 7{,}550 | 8 |
- Şık D’de (\sqrt{57}\approx7{,}550) en yakın tam sayı 8 olur; indeks 7 çıkmaz.
- A, B ve C şıklarında ise indeks 7 olarak bulunuyor.
- Bizden, indeks 7’yi vermekle birlikte en fazla yüksekliği sormaktadır.
- Bu nedenle doğru seçenek, h değeri en büyük olan şık, yani C şıkkıdır.
5. Sonuç ve Doğru Şık
En fazla kaç metre yükseklikten bırakılmıştır?
Cevap:
\sqrt{56}
Bu durumda düşme yüksekliği 56 metre’dir.
Doğru seçenek: C şıkkı
6. Özet Tablosu
| İfade | h (m) | \sqrt{h} | Round | Dayanıklılık İndeksi | Geçerli mi? |
|---|---|---|---|---|---|
| \sqrt{48} | 48 | 6,928 | 7 | 7 | Evet |
| \sqrt{49} | 49 | 7,000 | 7 | 7 | Evet |
| \sqrt{56} | 56 | 7,483 | 7 | 7 | Evet (Maks) |
| \sqrt{57} | 57 | 7,550 | 8 | 8 | Hayır |
Özet:
- Dayanıklılık indeksi 7 demek, \sqrt{h} değerinin 6,5 ile 7,5 arasında olmasıdır.
- Tam sayı h en fazla 56 olabilir.
- Şıklardan buna karşılık gelen ifade $\sqrt{56}$’dır.
Cevap anahtarı A diypr
Test için alınan bir süpürgenin dayanıklılık indeksi 7 olduğuna göre bu süpürge en fazla kaç metre yükseklikten bırakılmıştır?
Sorunun Detaylı Çözümü:
Bir süpürge markası, dikey süpürgelerini düşme dayanıklılık testine tabi tutuyor.
- Dayanıklılık indeksi, bırakılma yüksekliğinin metre cinsinden gösterilmesidir.
- Eğer bırakılma yüksekliği tam kare ise, dayanıklılık indeksi o sayının kareköküdür.
- Eğer tam kare değilse, dayanıklılık indeksi, karekök değerine en yakın tam sayıdır.
Dayanıklılık indeksi 7 ise:
- İndeks 7, bırakılma yüksekliğinin kareköküne en yakın tam sayı 7 demektir.
- Yani, \sqrt{h} sayısı 6.5 ile 7.5 arasında olmalıdır (çünkü 7’ye en yakın tam sayı 7’dir).
- Bu aralık için:
6.5 \leq \sqrt{h} < 7.5
Her iki tarafın karesi alınırsa:
6.5^2 \leq h < 7.5^2 \\ 42.25 \leq h < 56.25
Yani bırakılma yüksekliği h metre olarak 42.25 ile 56.25 arasında olmalıdır.
- h tam sayı olduğundan, h en fazla 56 olabilir.
- Şıklarda verilen değerler:
- \sqrt{48} \approx 6.93 → indeks 7
- \sqrt{49} = 7 → indeks 7
- \sqrt{56} \approx 7.48 → indeks 7
- \sqrt{57} \approx 7.55 → indeks 8 (yanlış)
En fazla bırakılma yüksekliği:
- İndeks 7 olan süpürge için en büyük uygun h değeri 56’dır.
- Çünkü 57 sayısının karekökü 7.55 olup, en yakın tam sayı 8 olur ve indeks 7 olmaz.
Sonuç Tablosu:
| Şık | İfade | h (metre) | \sqrt{h} Değeri | En Yakın Tam Sayı (İndeks) | Geçerli mi? |
|---|---|---|---|---|---|
| A | \sqrt{48} | 48 | 6.93 | 7 | Evet |
| B | \sqrt{49} | 49 | 7.00 | 7 | Evet |
| C | \sqrt{56} | 56 | 7.48 | 7 | Evet |
| D | \sqrt{57} | 57 | 7.55 | 8 | Hayır |
Doğru cevap: C) \sqrt{56}
Özet:
- Dayanıklılık indeksi 7 olan süpürge, bırakılma yüksekliği olarak en fazla 56 metre yükseklikten bırakılmıştır.
- Çünkü 56’nın karekökü yaklaşık 7.48 olup, en yakın tam sayı 7’dir.
- 57 ve üzeri sayılar için indeks 8 olur, bu yüzden geçerli değildir.