Bir spor salonunda yan yana dizili soyunma dolapları iki basamaklı doğal sayılarla aşağıdaki gibi numaralanmıştır. Numaralar soldan sağa doğru birer artmaktadır. En sağdaki dolabın numarasının rakamlarının çarpımı; rakamları toplamından, birler basamağındaki rakamın 3 katı kadar fazladır.
Buna göre dolap sayısı en çok kaçtır?
A) 71
B) 72
C) 73
D) 74
E) 75
İki Basamaklı Sayılar ve Terim Sayısı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki basamaklı ab sayısı için rakamlar: a \in \{1, 2, \dots, 9\} ve b \in \{0, 1, \dots, 9\}
- Terim Sayısı Formülü:
\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Koşula Göre Matematiksel Denklemin Kurulması
En sağdaki dolabın numarası ab olsun.
- Rakamların çarpımı: a \cdot b
- Rakamların toplamı: a + b
- Birler basamağındaki rakam: b
Soruda verilen ilişkiyi denklem haline getirelim:
a \cdot b = (a + b) + 3b
a \cdot b = a + 4b
Adım 2 — Denklemin Çarpanlara Ayrılarak Düzenlenmesi
Tüm terimleri bir tarafa toplayıp çarpanlarına ayıralım:
a \cdot b - a - 4b = 0
Her iki tarafa 4 ekleyelim:
a(b - 1) - 4(b - 1) = 4
(a - 4)(b - 1) = 4
Adım 3 — Olası (a, b) Rakam Değerlerinin Bulunması
Çarpımları 4 eden pozitif tam sayı ikililerini inceleyelim:
- a - 4 = 1 \implies a = 5 ve b - 1 = 4 \implies b = 5 \implies ab = 55
- a - 4 = 2 \implies a = 6 ve b - 1 = 2 \implies b = 3 \implies ab = 63
- a - 4 = 4 \implies a = 8 ve b - 1 = 1 \implies b = 2 \implies ab = 82
Dolap sayısının en çok olması istendiğinden, en sağdaki dolap numarası en büyük değer olan ab = 82 olarak seçilir.
Adım 4 — Toplam Dolap Sayısının Hesaplanması
Dolaplar 10’dan başlayarak 82’ye kadar birer birer artmaktadır:
\text{Dolap Sayısı} = \frac{82 - 10}{1} + 1
\text{Dolap Sayısı} = 72 + 1 = 73
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 73
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Çarpanlara Ayırma ile Diophant Denklemleri: Bilinmeyenlerin rakam olduğu durumlarda cebirsel ifadeleri çarpım durumuna getirerek sınırlı sayıda tam sayı çözümü bulma yöntemi.
- Terim Sayısı: Uç noktalar dahil olduğunda çıkarma işlemine +1 eklenmesi kuralı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Son dolaptan ilk dolabı çıkarıp 1 eklemeyi unutarak 82 - 10 = 72 (B şıkkı) cevabını işaretlemek.- Doğru Yaklaşım: İlk dolap (10) da sayıma dahil olduğu için \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1 formülünü uygulamak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir basamak kavramı ve terim sayısı sorusu çözmek ister misin?