Bir sipariş için atölyede ilk gün 24 sandalye üretilmiştir. Sonraki her gün üretilen sandalye sayısı, bir önceki günden 5 sandalye daha fazladır. Atölye çalışanlarının toplam üretimleri 500 sandalyeyi geçtiği gün sipariş için çalışmayı durduracaklardır.
Buna göre atölye çalışanları siparişi kaçıncı günde tamamlamışlardır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Aritmetik Dizi Toplamı ile Gün ve Üretim Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Sabit artış miktarına sahip dizilerde n günde üretilen toplam miktar, ilk terim a_1 ve ortak fark d olmak üzere aritmetik dizi toplam formülü ile hesaplanır:
S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n - 1) \cdot d]
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Değerleri Belirleme ve Toplam Formülünü Kurma
İlk gün üretilen sandalye sayısı a_1 = 24, her gün artış miktarı d = 5’tir. n günde üretilen toplam sandalye sayısını veren bağıntıyı yazalım:
S_n = \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 24 + (n - 1) \cdot 5] = \frac{n(5n + 43)}{2}
Adım 2 — Toplam Üretimin 500 Sandalyeyi Geçtiği Günü Bulma
Toplam üretimin 500’ü geçmesi için S_n > 500, yani n(5n + 43) > 1000 eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı bulunmalıdır. Seçenekleri değerlendirelim:
- n = 9 için:
S_9 = \frac{9 \cdot (5 \cdot 9 + 43)}{2} = \frac{9 \cdot 88}{2} = 396 \quad (396 < 500)
- n = 10 için:
S_{10} = \frac{10 \cdot (5 \cdot 10 + 43)}{2} = 5 \cdot 93 = 465 \quad (465 < 500)
- n = 11 için:
S_{11} = S_{10} + a_{11} = 465 + (24 + 10 \cdot 5) = 465 + 74 = 539 \quad (539 > 500)
- günün sonunda toplam 465 sandalye üretilmiş olup 500 sandalye barajı henüz aşılmamıştır; 11. günde toplam 539 sandalyeye ulaşılarak 500 hedefi geçilmiş ve çalışma tamamlanmıştır.
CEVAP: D) 11 (S_{11} = 539 > 500)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: “500’ü geçtiği gün” ifadesi arandığında, 10. gün sonundaki toplam 465’te kaldığı için işlem bir sonraki güne sarkar. Eşitsizliklerde son güne eklenen üretimin toplamı hedef değerin üzerine çıkardığı gün tespit edilmelidir.
@Akademik_Rehber adam akıllı düzgün anlat
Soruyu hiç formüle boğulmadan, en sade ve anlaşılır mantıkla adım adım çözelim:
1. Her Gün Kaç Sandalye Üretiliyor?
Her gün bir önceki günden 5 fazla üretildiği için günler sırasıyla şöyledir:
- 1. Gün: 24
- 2. Gün: 29
- 3. Gün: 34
- 4. Gün: 39
- 5. Gün: 44
- 6. Gün: 49
- 7. Gün: 54
- 8. Gün: 59
- 9. Gün: 64
- 10. Gün: 69
- 11. Gün: 74
2. Gün Gün Kümülatif (Birikimli) Toplam
-
8. günün sonuna kadar:
24 + 29 + 34 + 39 + 44 + 49 + 54 + 59 = 332 sandalye (500’e henüz çok var). -
9. günün sonuna kadar:
332 + 64 = 396 sandalye (Hâlâ 500’ün altında). -
10. günün sonuna kadar:
396 + 69 = 465 sandalye (500’e ulaşılamadı, üretime devam edilecek). -
11. günün sonunda:
465 + 74 = \mathbf{539} sandalye.
Sonuç:
-
gün bittiğinde toplam 465 sandalyede kalınmıştır ve 500 barajı henüz geçilmemiştir.
-
gün üretilen 74 sandalye ile toplam sayı 539’a çıkmış ve 500 sınırı 11. günde aşılmıştır.
Cevap: D şıkkı (11)
@Akademik_Rehber tek tek hesaplamak mı gerek
Hayır, tek tek yazmana kesinlikle gerek yok! Sınavda bunu 15 saniyede çözmenin en pratik yolu ortadaki şıktan (10. günden) gitmektir:
Pratik Yol (Ortalama \times Gün Sayısı)
Ardışık artan sayılarda toplam her zaman:
\text{Toplam} = \text{Ortalama} \times \text{Gün Sayısı}
formülüyle bulunur.
Ortadaki şık olan 10. günü test edelim:
- 10. gündeki üretim: 24 + (9 \times 5) = 69
- İlk 10 günün ortalaması: \frac{24 + 69}{2} = 46{,}5
- 10 günlük toplam üretim: 46{,}5 \times 10 = \mathbf{465}
500 hedefine ulaşmak için sadece 500 - 465 = 35 sandalye kaldı.
Bir sonraki gün (11. gün) zaten 69 + 5 = 74 sandalye üretileceği için, toplam üretim 11. günde 500’ü rahatça geçer.
Bu sayede sadece tek bir günün hesabını yaparak doğrudan 11 cevabına ulaşırsın.