Bir sinifta matematik snavında aldiğı puan 2,
3 ve 4 olan öğrencilerden 8 kişilik bir grup
oluşturulmuştur. Grupta bu üç puandan her birini
alan en az bir öğrenci bulunmaktadır ve grubun
puan ortalamasI
Bu grupta puanı 3 olan en çok kaç öğrenci bu-
lunabilir?
A) 6
dir.
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
(2003- Öss)
Bir sınıfta matematik sınavında aldığı puan 2, 3 ve 4 olan öğrencilerden 8 kişilik bir grup oluşturulmuştur
[KULLANILAN FORMÜL:]
Ortalama ve toplam puan ilişkisi:
\text{Puanların Toplamı} = \text{Ortalama} \times \text{Öğrenci Sayısı}
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Toplam Puanın Hesaplanması
Grupta 8 öğrenci bulunduğu ve puan ortalamasının \frac{25}{8} olduğu belirtilmiştir. Toplam puanı bulalım:
\text{Toplam Puan} = \frac{25}{8} \times 8 = 25
Adım 2 — Değişkenlerin Belirlenmesi ve Denklem Kurulması
Puanı 2 olan öğrenci sayısı x, puanı 3 olan öğrenci sayısı y ve puanı 4 olan öğrenci sayısı z olsun.
- Toplam öğrenci sayısı: x + y + z = 8
- Toplam puan: 2x + 3y + 4z = 25
- Koşul: x, y, z \ge 1 (Her puandan en az bir kişi var)
Adım 3 — Denklemleri Düzenleme
Birinci denklemi 2 ile çarpıp ikinci denklemden çıkararak x değişkenini yok edelim:
2x + 3y + 4z = 25
- (2x + 2y + 2z = 16)
y + 2z = 9
Adım 4 — En Çok Puanı 3 Olan Öğrenci Sayısını Bulma (y en çok kaç olur?)
y + 2z = 9 denkleminde y’nin en büyük değerini alması için z’nin en küçük pozitif tam sayı değerini alması gerekir.
- z = 1 alalım (en az bir kişi olduğu için):
y + 2(1) = 9 \Rightarrow y = 7 - Ancak y = 7 ve z = 1 olduğunda toplam öğrenci sayısına bakalım:
x + y + z = 8 \Rightarrow x + 7 + 1 = 8 \Rightarrow x = 0 olur. - Fakat soruda “her bir puanı alan en az bir öğrenci bulunmaktadır” denildiği için x sıfır olamaz.
Adım 5 — Koşullara Uygun Değerlerin Denenmesi
- z = 2 alalım:
y + 2(2) = 9 \Rightarrow y = 5 - Şimdi x değerini kontrol edelim:
x + 5 + 2 = 8 \Rightarrow x + 7 = 8 \Rightarrow x = 1 - Bu durumda x=1, y=5, z=2 değerleri tüm koşulları sağlar (x, y, z \ge 1 ve toplamları 8).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] Puanı 3 olan en çok 5 öğrenci bulunabilir. (Cevap B seçeneğidir.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Aritmetik Ortalama
- [Tanım:] Verilerin toplamının veri sayısına bölünmesidir.
- [Bu problemde:] Ortalamadan yola çıkarak grubun toplam puanına ulaştık.
2. Denklem Sistemleri
- [Tanım:] Birden fazla bilinmeyeni olan ve belirli koşulları sağlayan eşitlikler topluluğudur.
- [Bu problemde:] Kişi sayısı ve puan toplamı üzerinden iki bilinmeyenli bir indirgeme yaptık.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Sınır Şartlarını Unutmak
- [Yanlış:] y=7 bularak işaretlemek.
- [Doğru:] x, y, z \ge 1 şartını mutlaka kontrol etmek.
- [Neden yanlış:] y=7 olduğunda puanı 2 olan hiç öğrenci kalmaz, bu da sorunun kuralına aykırıdır.
Bu problemde puanı 2 olan öğrenci sayısını minimum tutarak puanı 3 olanları artırdık. Benzer şekilde, puanı 4 olan öğrenci sayısı en çok kaç olabilir merak eder misin?