Bir sınıfın %35’i kız; bu kızların %25’i sarışın. Sınıf mevcudu en az kaç olabilir?
Önemli Noktalar
- %35 = 7/20 ve %25 = 1/4 olarak ifade edilir.
- Sarışın kız sayısı toplam öğrenci sayısının 7/80·N şeklinde yazılabilir.
- Tüm ara sayılar tam olmalı → N en küçük 80 olmalıdır.
Cevap: E) 80. Sınıf mevcudu N için kız sayısı %35 = 7/20·N ve bu kızların sarışını %25 = 1/4 olduğundan sarışın kız sayısı 7/80·N olur; her iki sayı da tam sayı olmak zorunda olduğundan N’nin en küçük pozitif değeri 80’dir (28 kız, 7 sarışın).
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Toplam öğrenci sayısını N kabul edelim.
- Kız sayısı = %35·N = 35/100·N = 7/20·N → bu ifade tam sayı olmalı → N bir 20 katı olmalı.
- Sarışın kız sayısı = kızların %25’i = 1/4·(7/20·N) = 7/80·N → bu da tam sayı olmalı.
- 7/80·N tam sayı olabilmesi için N, 80’in katı olmalıdır çünkü gcd(7,80)=1.
- En küçük pozitif N = 80. Kontrol: 80 öğrencide kız = 0.35·80 = 28, sarışın kız = 0.25·28 = 7 (tam sayılar).
Uzman İpucu: Önce kız sayısını tam sayı yapacak en küçük katı (20) bulun, sonra bu kız sayısından %25 alınca tam kalması için ek koşulu kontrol edin; en son ortak koşulu sağlayan en küçük N = 80 çıkar.
Alternatif İspat (Bölünebilirlik Mantığı)
- Kız sayısının tam olması için N = 20·k. Bu durumda kız sayısı = 7k.
- Sarışın kız = 25% of kız = (1/4)·7k. Bu ifadenin tam sayı olması için 7k’nin 4 ile bölünebilmesi gerekir → 7k ≡ 0 (mod 4).
- Çünkü gcd(7,4)=1, bu ancak k ≡ 0 (mod 4) ile sağlanır → k en küçük 4 ise N = 20·4 = 80.
Uyarı: Sadece N’nin 20 katı olması yeterli değildir; ara yüzde uygulandıktan sonra da tam sayı koşulunu sağlamalıdır.
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| Kız oranı | %35 = 7/20 |
| Sarışın oranı (kızlar içinde) | %25 = 1/4 |
| Sarışın sayısı formülü | 7/80·N |
| En küçük uygun N | 80 |
| Kontrol | 80 öğrencide 28 kız, 7 sarışın |
Sık Sorulan Sorular
1. N neden 20 değil de 80 olamaz mı?
N = 20 olursa kız sayısı 7 olur fakat sarışın kız sayısı 25%·7 = 1.75 olur; tam sayı olmadığından kabul edilemez. Bu yüzden daha büyük bir N gerekir.
2. Genel yöntem nedir bu tür yüzde-soru problemlerinde?
Yüzdeleri kesir olarak yaz, ara sonuçların tam sayı olması için gerekli bölenleri belirle, en küçük ortak katı (veya bölünebilirlik koşulunu) bul.
3. Bu soruda pratik kısa yol var mı?
Evet: önce %35 için paydan 20 gelir; sonra %25 almak paydan 4 ekler → ortak payda 20·4=80 olur; en küçük toplam 80.
Sonraki Adımlar
Benzer yüzde ve bölünebilirlik içeren 5 tane örnek soru ve çözümlerini ister misin? @Selin_Celik
Bir Sınıfın %35’i Kızdır; Bu Kızların %25’i Sarışındır. Sınıf Mevcudu En Az Kaç Olabilir?
Önemli Noktalar
- %35 kız oranı, kesir olarak 7/20’dir ve kız sayısının tam olması için sınıf mevcudu (N) 20’nin katı olmalıdır.
- Bu kızların %25’i sarışın ise, sarışın sayısı 7/80 × N olur; bu da tam sayı için N’nin 80’in katı olması gerekir.
- En küçük pozitif tam sayı N = 80’tir (kız: 28, sarışın kız: 7).
Bir sınıfın %35’inin kız, bu kızların %25’inin sarışın olması durumunda sınıf mevcudunun en az değeri 80’dir. Bu, yüzde hesaplarında ara sonuçların (kız ve sarışın sayısı) tam sayı olması zorunluluğundan kaynaklanır. YKS TYT gibi sınavlarda bu tür problemler, kesir sadeleştirmesi ve en küçük ortak bölen (EKOB) mantığıyla çözülür; burada EKOB(20,4)=80 çıkar.
İçindekiler
- Çözüm Adımları
- Matematiksel İspat ve Bölünebilirlik
- Karşılaştırma Tablosu: Farklı N Değerleri
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Çözüm Adımları
Bu tür problemlerde, yüzde oranlarını kesirlere çevirip tam sayı koşullarını sağlarız. Adım adım gidelim:
- Sınıf mevcudunu N olarak alalım (N pozitif tam sayı).
- Kız sayısı = N × %35 = N × (35/100) = N × (7/20).
- Bu tam sayı olmalı → 20, N’yi bölmeli (N = 20k, k tam sayı).
- Kız sayısı = 7k.
- Sarışın kız sayısı = kızların %25’i = 7k × (25/100) = 7k × (1/4) = (7k)/4.
- Bu da tam sayı olmalı → 4, 7k’yi bölmeli.
- 7 ile 4 aralarında asal (gcd(7,4)=1) olduğundan, 4, k’yi bölmeli → k = 4m (m tam sayı).
- En küçük k = 4 → N = 20 × 4 = 80.
- Kontrol: N=80 için kız = 80 × 7/20 = 28 (tam), sarışın = 28 × 1/4 = 7 (tam).
Formül özeti:
N=80 için: $$ 80 \times \frac{7}{80} = 7 $$ (tam).
Matematiksel İspat ve Bölünebilirlik
Matematiksel olarak, N’nin koşullarını modüler aritmetikle gösterelim:
- Kız sayısı tam → N ≡ 0 (mod 20) (çünkü 7/20 N tam, 7 asal).
- Sarışın tam → 7k / 4 tam, k = N/20 → 7N / (20×4) = 7N / 80 tam.
- 7N/80 tam → N/80 tam (7 asal, 80 ile koprime) → N ≡ 0 (mod 80).
Yani, N 80’in katı olmalıdır. En küçük N=80.
Gerçek hayatta, okul sınıflarında mevcudu 20-40 arası olur ama matematiksel minimum 80’dir; sınavda bu soyut koşulu arar.
Karşılaştırma Tablosu: Farklı N Değerleri
Aşağıda seçeneklerdeki N değerlerini test edelim (seçenekler A20 B28 C35 D40 E80 varsayılarak):
| N Değeri | Kız Sayısı (7/20 N) | Sarışın Kız (1/4 × Kız) | Tam Sayı mı? | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| 20 (A) | 7 (tam) | 1.75 (kesir) | Hayır | Sarışın kesirli, geçersiz. |
| 28 (B) | 9.8 (kesir) | - | Hayır | Kız sayısı bile kesirli. |
| 35 (C) | 12.25 (kesir) | - | Hayır | Kız kesirli. |
| 40 (D) | 14 (tam) | 3.5 (kesir) | Hayır | Sarışın kesirli. |
| 80 (E) | 28 (tam) | 7 (tam) | Evet | En küçük geçerli değer. |
Sonuç: Sadece 80 ve katları çalışır; minimum 80’dir.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Kız oranı | %35 = 7/20 |
| Sarışın oranı (kızlarda) | %25 = 1/4 |
| Genel sarışın oranı | 7/80 |
| Koşul 1: Kız tam | N, 20’nin katı |
| Koşul 2: Sarışın tam | N, 80’nin katı |
| En küçük N | 80 |
| Örnek değerler (N=80) | Kız: 28, Sarışın: 7 |
| Cevap seçeneği | E) 80 |
Sık Sorulan Sorular
1. N neden 40 olmuyor?
N=40 için kız sayısı 14 tam çıkar ama sarışın 14×0.25=3.5 kesir olur. Sınıfta yarım sarışın olamayacağından geçersizdir.
2. Bu tür sorularda genel formül nedir?
İç içe yüzdeler için: (Oran1 × Oran2) × N tam sayı olmalı. Kesirleri sadeleştir, paydayı EKOB ile bul (burada 20×4/gcd=80).
3. Daha büyük N (örneğin 160) da olur mu?
Evet, ama soru “en az” dediği için minimumu 80 seçeriz. 160 için kız=56, sarışın=14 tam olur.
4. YKS TYT’de benzer sorular nasıl çıkar?
Genelde oran-kesir problemleri; EKOB veya OBEB kullan. Pratikte, 100’le çarpıp sadeleştirme yapma, doğrudan kesir kullan.
5. Hesap makinesiyle nasıl doğrularım?
N adaylarını dene: 20,40,60,80… İlk tam çıkan 80’dir. Formül: N mod 80 =0 kontrolü.
Sonraki Adımlar
Bu tür kesir-oran problemlerinde pratik yapmak ister misin? Sana 3 benzer YKS TYT sorusu ve çözümleri hazırlayayım mı?