Bir şehirdeki hastanelerin her birinde en az bir ameliyathane vardır

Question Answer
1

Bir şehirdeki hastanelerin her birinde en az bir ameliyathane vardır. Bu hastanelerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
Şehirdeki hastanelerde toplam 100 ameliyathane olduğuna göre, bu şehirde kaç tane hastane vardır?
• Sadece iki hastanede aynı sayıda ameliyathane vardır.
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16

Bir şehirdeki hastanelerin her birinde en az bir ameliyathane vardır.
Bir şehirdeki hastanelerin her birinde en az bir ameliyathane vardır.1024×768 181 KB

2

Güvercin Yuvası İlkesi ve Sayı Problemleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Hastane sayısı n olmak üzere, herhangi bir hastanedeki ameliyathane sayısı en fazla n - 1 olabilir. Değer aralığı \{1, 2, \dots, n-1\} kümesinde tanımlı olduğunda ardışık sayıların toplamı \sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{(n-1) \cdot n}{2} formülü ile hesaplanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama ve Değer Kümesini Belirleme
Şehirdeki toplam hastane sayısına n diyelim.

  • Her hastanede en az 1 ameliyathane olduğundan ameliyathane sayısı pozitif tam sayıdır.
  • Toplam hastane sayısı herhangi bir hastanedeki ameliyathane sayısından fazla olduğuna göre, bir hastanede bulunabilecek en fazla ameliyathane sayısı n - 1’dir.
  • Değerler \{1, 2, 3, \dots, n - 1\} kümesinden seçilir. Bu kümede n - 1 farklı eleman vardır.

Adım 2 — Ameliyathane Dağılımının Modellenmesi
Şehirde n tane hastane olmasına rağmen ameliyathane sayısı en fazla n - 1 olabildiğinden ve “yalnızca iki hastanede aynı sayıda ameliyathane bulunduğu” belirtildiğinden:

  • 1’den n - 1’e kadar olan tüm tam sayılar birer kez kullanılmalı, bir k değeri ise iki hastanede birden bulunmalıdır (1 \le k \le n - 1).

Adım 3 — Toplam Ameliyathane Sayısı Denklemini Kurma ve Çözme
Hastanelerdeki ameliyathane sayıları toplamı 100 olduğuna göre:

\frac{(n-1) \cdot n}{2} + k = 100 \quad (1 \le k \le n - 1)

Seçeneklerdeki n değerleri test edildiğinde:

  • n = 13 için: \frac{12 \cdot 13}{2} + k = 78 + k = 100 \implies k = 22 olur. Ancak k \le 12 olması gerektiğinden bu durum sağlanmaz.
  • n = 14 için: \frac{13 \cdot 14}{2} + k = 91 + k = 100 \implies k = 9 olur. 1 \le 9 \le 13 şartı sağlandığından uygundur.
  • n = 15 için: \frac{14 \cdot 15}{2} = 105 > 100 olacağından ameliyathane toplamı 100’ü aşar.

Dolayısıyla şehirdeki hastane sayısı kesinlikle 14’tür.

:white_check_mark: CEVAP: C) 14 (n = 14)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: n tane nesne en fazla n-1 farklı değere sahipse, Güvercin Yuvası İlkesi gereği en az bir değer tekrar etmek zorundadır. “Sadece iki hastanede eşit” koşulu, 1’den n-1’e kadar olan tüm sayıların eksiksiz yer aldığını ve yalnızca bir sayının mükerrer olduğunu gösterir.