Bir şehirde Begüm, Piraye ve Nevra adlı üç arkadaşın bulunduğu konumlar şehir haritası üzerinde sırasıyla B, P ve N noktaları ile gösterilmiştir. m(widehat{BPN}) = 65^irc , m(widehat{BNP}) = 46^irc ve Piraye ile Nevra arasındaki uzaklık 744 metredir. (\sin 46^irc \approx 0,72 , \sin 65^irc \approx 0,91 , \sin 69^irc \approx 0,93 alınız.)
Buna göre
A) Piraye ile Begüm arasındaki yaklaşık uzaklığı metre cinsinden bulunuz.
B) Nevra ile Begüm arasındaki yaklaşık uzaklığı metre cinsinden bulunuz.
Sinüs Teoremi ile Üçgende Kenar Uzunluğu Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların sinüs değerleriyle doğru orantılıdır. Bu bağıntı Sinüs Teoremi olarak adlandırılır:
\frac{a}{\sin \widehat{A}} = \frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}}
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Begüm’ün Bulunduğu Köşedeki Açıyı Bulma
BPN üçgeninin iç açıları toplamı 180^\circ olduğundan B açısının ölçüsü hesaplanır:
m(\widehat{PBN}) = 180^\circ - (65^\circ + 46^\circ) = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ
Adım 2 — a) Piraye ile Begüm Arasındaki Uzaklığı (|PB|) Hesaplama
|PN| = 744\text{ m} kenarı 69^\circ’lik açının, |PB| kenarı ise 46^\circ’lik açının karşısındadır. Sinüs teoreminden:
\frac{|PB|}{\sin 46^\circ} = \frac{|PN|}{\sin 69^\circ} \implies \frac{|PB|}{0{,}72} = \frac{744}{0{,}93}
\frac{744}{0{,}93} = 800 \implies |PB| = 800 \cdot 0{,}72 = 576\text{ m}
Adım 3 — b) Nevra ile Begüm Arasındaki Uzaklığı (|BN|) Hesaplama
|BN| kenarı 65^\circ’lik açının karşısındadır. Sinüs teoreminden:
\frac{|BN|}{\sin 65^\circ} = \frac{|PN|}{\sin 69^\circ} \implies \frac{|BN|}{0{,}91} = \frac{744}{0{,}93}
|BN| = 800 \cdot 0{,}91 = 728\text{ m}
CEVAP:
- a) 576\text{ metre} (|PB| = 576\text{ m})
- b) 728\text{ metre} (|BN| = 728\text{ m})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Ondalıklı sayılarla işlem yaparken \frac{744}{0{,}93} ifadesini virgülden kurtarmak için pay ve paydayı 100 ile çarparak \frac{74400}{93} = 800 tam sayısına ulaşmak, çarpma işlemlerini çok daha pratik ve hatasız hale getirir.