Bir şehirde 2021 yılında yapılan bir araştırmada şehirde yaşayan her bireyin yıllık ortalama 40.000 litre temiz su tükettiği tespit edilmiştir.
Bu şehirde bireylerin temiz su tüketimi her yıl bir önceki yıla göre dörtte bir oranında artmaktadır.
2026 yılında nüfusun 10.000’e ulaşacağı öngörüldüğüne göre, 2026 yılında şehirdeki yıllık toplam temiz su tüketimi kaç litre olur?
A) 5^9
B) 5^{10}
C) 5^{11}
D) 5^{12}
E) 5^{13}
Üslü İfadeler ve Geometrik Artış Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir büyüklük her yıl \frac{1}{4} oranında artıyorsa, her yıl bir önceki yılın 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} katına çıkar. n yıl sonundaki miktar A_n = A_0 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^n bağıntısıyla bulunur; toplam tüketim ise kişi sayısı ile kişi başı tüketimin çarpımına eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — 2026 Yılında Bir Bireyin Tüketim Miktarını Bulma
2021 yılından 2026 yılına kadar geçen süre 2026 - 2021 = 5 yıldır. Başlangıçta kişi başı tüketim 40.000 litre olduğuna göre, 5 yıl sonraki kişi başı su tüketimi:
T_{\text{birey}} = 40.000 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^5
Adım 2 — 2026 Yılındaki Toplam Su Tüketimini Üslü Biçimde Hesaplama
2026 yılındaki nüfus 10.000 kişidir. Toplam su tüketimi için nüfus ile kişi başı tüketim çarpılır ve sayılar üslü olarak ifade edilir:
\text{Toplam Tüketim} = 10.000 \cdot 40.000 \cdot \frac{5^5}{4^5}
Sayıları 2 ve 5 tabanında çarpanlarına ayıralım:
- 40.000 \cdot 10.000 = 4 \cdot 10^8 = 2^2 \cdot (2 \cdot 5)^8 = 2^{10} \cdot 5^8
- Paydadaki 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}
İfadeleri yerine yazıp sadeleştirelim:
\text{Toplam Tüketim} = \frac{2^{10} \cdot 5^8 \cdot 5^5}{2^{10}} = 5^{8+5} = 5^{13} \text{ litre}
CEVAP: E) 5^{13}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Büyük basamaklı sayıları tek tek çarpmak yerine doğrudan asal çarpanlarına (2 ve 5 tabanına) ayırmak, kesirli paydalarla sadeleşmeyi anında görmenizi sağlar ve işlem hatasını önler.