Bir pozitif tam sayının kendisi dişındaki tüm pozitif
tam sayı bölenlerinin toplami, bu sayının kendisine
eşit oluyorsa bu sayıya mükemmel sayı adi verilir.
Oklit ve Euler’in çalışmalarıina göre 2P-1 bir asal sayı
olmak üzere 2P- (2P-1) formundaki tüm sayılar birer
mükemmel sayıdır.
Buna göre bu teoremi kullanarak hesaplanan iki
basamaklı ve üç basamaklı tüm mükemmel sayıların
toplamı kaçtır?
A) 502
D) 8156
B) 524
E) 8184
C) 530
İki ve Üç Basamaklı Mükemmel Sayıların Toplamının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
Öklit-Euler teoremine göre, 2^p - 1 bir asal sayı (Mersenne asalı) olmak şartıyla, çift mükemmel sayılar şu formülle bulunur:
M = 2^{p-1} \cdot (2^p - 1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — p = 2 Değerinin Hesaplanması
- 2^2 - 1 = 3 (asal sayıdır).
- M_1 = 2^{2-1} \cdot (2^2 - 1) = 2^1 \cdot 3 = 6
- 6 sayısı 1 basamaklı olduğu için aranan şarta uymaz.
Adım 2 — p = 3 Değerinin Hesaplanması (İki Basamaklı Sayı)
- 2^3 - 1 = 7 (asal sayıdır).
- M_2 = 2^{3-1} \cdot (2^3 - 1) = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28
- 28 sayısı 2 basamaklı bir mükemmel sayıdır.
Adım 3 — p = 4 Değerinin Kontrolü
- 2^4 - 1 = 15 (15 asal sayı değildir, teorem uygulanamaz).
Adım 4 — p = 5 Değerinin Hesaplanması (Üç Basamaklı Sayı)
- 2^5 - 1 = 31 (asal sayıdır).
- M_3 = 2^{5-1} \cdot (2^5 - 1) = 2^4 \cdot 31 = 16 \cdot 31 = 496
- 496 sayısı 3 basamaklı bir mükemmel sayıdır.
Adım 5 — p = 7 Değerinin Kontrolü (Dört Basamaklı Sayı)
- 2^7 - 1 = 127 (asal sayıdır).
- M_4 = 2^{7-1} \cdot (2^7 - 1) = 2^6 \cdot 127 = 64 \cdot 127 = 8128
- 8128 sayısı 4 basamaklı olduğu için sınıra ulaşılmıştır.
Adım 6 — İstenen Sayıların Toplanması
- İki basamaklı mükemmel sayı: 28
- Üç basamaklı mükemmel sayı: 496
\text{Toplam} = 28 + 496 = 524
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 524
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Mükemmel Sayı
- Tanım: Kendisi hariç tüm pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayılardır (Örneğin 6’nın bölenleri: 1, 2, 3 ve 1+2+3=6).
- Bu problemde: 28 (1+2+4+7+14 = 28) ve 496 (1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496) sayıları bulunup toplanmıştır.
2. Mersenne Asalları
- Tanım: 2^p - 1 biçiminde yazılabilen asal sayılardır.
- Bu problemde: p asal olsa bile 2^p-1 ifadesinin de mutlaka asal olması gerektiği kuralı kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
2^p - 1 İfadesinin Asallığını Kontrol Etmemek
- Yanlış: p yerine her tam sayıyı (örneğin p=4 için 2^4-1=15) doğrudan formüle koyup hesaplama yapmak.
- Doğru: Sadece 2^p - 1 sonucunun asal olduğu adımları (3, 7, 31, 127) işleme dahil etmek.
- Neden Yanlış: 2^p-1 asal olmadığında elde edilen sayı mükemmel sayı olma özelliğini sağlamaz.
Mersenne asalları veya bölen sayıları ile ilgili benzer bir TYT tarzı pekiştirme sorusu çözmek ister misin?