Bir parkurda yarışan iki koşucu arasındaki mesafe 400 metre olduğu anda öndeki koşucu tüm parkurun ini geçmiş, arkadaki

Maths Question
1

Bir parkurda yarışan iki koşucu arasındaki mesafe
400 metre olduğu anda öndeki koşucu tüm parkurun
ini geçmiş, arkadaki koşucu ise daha yarisina
gelmemiştir.
Buna göre tüm parkurun rmetre türünden uzunluğu
850 - 900- 1050 - 1200 - 1400
sayılarından kaç tanesine eşit olamaz?
A) 5
B)
C) 4
D) 2
E) 3

Bir parkurda yarışan iki koşucu arasındaki mesafe 400 metre olduğu anda öndeki koşucu...
Bir parkurda yarışan iki koşucu arasındaki mesafe 400 metre olduğu anda öndeki koşucu...908×800 117 KB

2

İki Koşucu Arasındaki Mesafeye Göre Parkur Uzunluğu Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE EŞİTSİZLİK KURALI:
Tüm parkurun uzunluğu x metre olsun.

  • Öndeki koşucunun konumu: x_1
  • Arkadaki koşucunun konumu: x_2
  • İki koşucu arasındaki mesafe: x_1 - x_2 = 400\text{ m}
  • Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir:
    A > B \text{ ve } C > D \implies A + C > B + D

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Step 1 — Koşucuların Konumlarına Dair Eşitsizlikleri Kurma

  • Öndeki koşucu parkurun \frac{4}{5}'ini geçtiği için:
    x_1 > \frac{4}{5}x
  • Arkadaki koşucu parkurun yarısına (\frac{1}{2}'sine) henüz gelmediği için:
    x_2 < \frac{1}{2}x

Step 2 — İkinci Eşitsizliği -1 ile Çarpıp Yön Değiştirme

  • x_2 < \frac{1}{2}x eşitsizliğinin her iki tarafı -1 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir:
    -x_2 > -\frac{1}{2}x

Step 3 — Eşitsizlikleri Taraf Tarafa Toplama

  • Elde edilen iki eşitsizliği alt alta toplayalım:
    x_1 > \frac{4}{5}x
    -x_2 > -\frac{1}{2}x
    + \text{-------------------------}
    x_1 - x_2 > \frac{4}{5}x - \frac{1}{2}x

Step 4 — Verilen Değeri Yerine Koyma ve Üst Sınırı Bulma

  • İki koşucu arasındaki mesafe x_1 - x_2 = 400\text{ m} olarak verilmiştir:
    400 > \left(\frac{4}{5} - \frac{1}{2}\right)x
  • Paydaları 10’da eşitleyelim:
    400 > \left(\frac{8 - 5}{10}\right)x
    400 > \frac{3}{10}x
    400 \cdot \frac{10}{3} > x
    x < \frac{4000}{3} \approx 1333{,}33\text{ m}

Step 5 — Verilen Sayıları Üst Sınır ile Karşılaştırma
Parkurun toplam uzunluğu x, 1333{,}33\text{ metre}'den küçük olmak zorundadır.

  • 850 < 1333{,}33 \rightarrow Olabilir
  • 900 < 1333{,}33 \rightarrow Olabilir
  • 1050 < 1333{,}33 \rightarrow Olabilir
  • 1200 < 1333{,}33 \rightarrow Olabilir
  • 1400 > 1333{,}33 \rightarrow Olamaz (1400 metre olsaydı aralarındaki fark en az 1400 \cdot \frac{3}{10} = 420\text{ m} olmak zorunda kalırdı).

Verilen değerlerden yalnızca 1 tanesi (1400) parkur uzunluğuna eşit olamaz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Birinci Dereceden Eşitsizliklerin Taraf Tarafa Toplanması

  • Tanım: Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir ancak taraf tarafa çıkarılamaz.
  • Bu problemde: Çıkarma işlemi yerine x_2 < \frac{1}{2}x eşitsizliği -1 ile çarpılarak -x_2 > -\frac{1}{2}x haline getirilmiş ve x_1 - x_2 farkı elde edilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Eşitsizlikleri Taraf Tarafa Çıkarmak

  • Yanlış: x_1 > \frac{4}{5}x ifadesinden x_2 < \frac{1}{2}x ifadesini doğrudan çıkarmaya çalışmak.
  • Doğru: İkinci eşitsizliği -1 ile çarpıp eşitsizliğin yönünü değiştirdikten sonra toplamak.
  • Neden yanlış: Eşitsizliklerde çıkarma işlemi doğrudan yapıldığında sınır değerlerin yönü ve doğruluğu bozulur.

Benzer bir eşitsizlik ve aralık problemi çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?