7
Bir oyun tahtası şekildeki gibi 5 bölgeden oluşmaktadır. Bu
oyun tahtasındaki her bölgeye başlangiçta belirli sayida piyon
konularak bir oyun oynanacaktır. Bu oyunun her turunda baş-
langiçtaki piyon sayısına göre aşağıdaki kurallara uyularak
piyonlar hareket ettirilecektir.
Ortak sinın olan bölgenin birinde diğerinden fazla sayıda
piyon varsa piyon sayısı fazla olan bölgeden az olan böl-
geye 1 piyon geçirilecektir.
Ortak sınir olmayan ya da ortak siniri olup aynı sayıda
piyona sahip olan bölgeler arasında geçiş olmayacaktır.
Aşağıda bu duruma ait bir örnek verilmiştir.
1c
11
PRAS
Bir turun başlangıcinda ve sonunda bölgelerdeki piyon sayıla-
ri aşağıdaki şekilde verilmiştir.
10
Buna göre, A + B değeri kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
Piyon Hareketleri ve Bölge Komşulukları Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir turda ortak sınıra sahip iki bölge arasında; piyon sayısı fazla olandan az olana 1 piyon aktarılır.
- Eşit sayıda piyonu olan veya ortak sınırı bulunmayan bölgeler arasında piyon geçişi olmaz.
- Toplam piyon sayısı tur boyunca sabit kalır:\sum \text{Piyon}_{\text{başlangıç}} = \sum \text{Piyon}_{\text{son}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bölgelerin Komşuluk İlişkilerini Belirleme
Tahtadaki 5 bölgeyi konumlarına göre adlandırıp örnek durum üzerinden sınırlarını inceleyelim:
- Bölge 1 (Sol Üst): Komşuları \rightarrow Bölge 2 ve Bölge 3
- Bölge 2 (Sol Alt): Komşuları \rightarrow Bölge 1, Bölge 3 ve Bölge 4
- Bölge 3 (Orta Üst): Komşuları \rightarrow Bölge 1, Bölge 2, Bölge 4 ve Bölge 5
- Bölge 4 (Orta Alt): Komşuları \rightarrow Bölge 2, Bölge 3 ve Bölge 5
- Bölge 5 (Sağ): Komşuları \rightarrow Bölge 3 ve Bölge 4
Adım 2 — Değişim Miktarlarından A Değerini Bulma
Soruda verilen başlangıç ve bitiş sayıları arasındaki farkları (\Delta = \text{Son} - \text{İlk}) yazalım:
- Bölge 1 (Sol Üst): 6 \rightarrow 8 \implies \Delta_1 = +2
- Bölge 5 (Sağ): 8 \rightarrow 6 \implies \Delta_5 = -2
Bu değişimleri komşuluk kurallarıyla yorumlayalım:
-
Bölge 1’in değişimi (+2): Yalnızca Bölge 2 ve Bölge 3 ile komşudur. Her bir komşudan en fazla 1 piyon alabileceğinden, hem Bölge 2’den (10 > 6) hem de Bölge 3’ten piyon almıştır. Dolayısıyla:
A > 6 -
Bölge 5’in değişimi (-2): Yalnızca Bölge 3 ve Bölge 4 ile komşudur. Toplam 2 piyon kaybettiğine göre hem Bölge 4’e (8 > 7) hem de Bölge 3’e 1’er piyon vermiştir. Dolayısıyla:
8 > A \implies A < 8
6 < A < 8 eşitsizliğini sağlayan tam sayı değeri:
Adım 3 — Toplam Piyon Sayısının Korunumundan B Değerini Bulma
Piyonlar sadece tahta içinde yer değiştirdiğinden başlangıçtaki ve sondaki toplam piyon sayıları birbirine eşittir:
A = 7 değerini yerine yazalım:
Adım 4 — A + B Değerini Hesaplama
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Graf/Ağ Modeli: Bu tip sorular harita renklendirme ve köşe-kenar (çizge teorisi) mantığı ile çözülür; her bölge bir düğüm, ortak sınırlar ise birer bağlantıdır.
- Kütle/Miktar Korunumu: Dışarıdan piyon eklenip çıkarılmadığı için kapalı sistemdeki toplam eleman sayısı daima sabittir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Çapraz duran bölgeleri (örneğin sol üstteki Bölge 1 ile sağdaki Bölge 5) birbiriyle komşu varsayıp doğrudan geçiş olduğunu düşünmek.- Doğru Yaklaşım: Yalnızca fiziki sınırı (kenar teması) olan bölgeler arasında piyon geçişi yapılabilir.
Benzer mantıkta bir graf/komşuluk sorusu daha çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?
@sorumatik_ai Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Piyon Tahtası Probleminin Mantığı ve Adım Adım Açıklaması
Bu oyunu anlamak için iki temel kuralı aklımızda tutmalıyız:
- Piyon Geçiş Kuralı: Yalnızca birbirine komşu (ortak sınırı olan) bölgeler arasında piyon transferi olur. Piyonu çok olan, az olana 1 piyon verir. Sayılar eşitse geçiş olmaz.
- Korum Kuramı: Piyonlar tahta dışına çıkmadığı veya dışarıdan yeni piyon gelmediği için toplam piyon sayısı asla değişmez.
1. Bölgeleri ve Komşuları Belirleyelim
Tahtayı gözümüzde canlandırmak için 5 bölgeyi şu şekilde isimlendirelim:
- Sol Üst: Başlangıçta 6, sonda 8
- Sol Alt: Başlangıçta 10, sonda 7
- Orta Üst (A \rightarrow B): Başlangıçta A, sonda B
- Orta Alt: Başlangıçta 7, sonda 9
- Sağ Bölge: Başlangıçta 8, sonda 6
Çizgileri takip ettiğimizde komşuluklar şöyledir:
- Sol Üst’ün komşuları: Yalnızca Sol Alt ve Orta Üst (A).
- Sağ Bölge’nin komşuları: Yalnızca Orta Üst (A) ve Orta Alt.
2. A Sayısını Dedektif Gibi Bulalım
İki kritik bölgedeki değişimlere bakarak A’yı kesin bir aralığa sıkıştırabiliriz:
a) Sol Üst Bölgeyi İnceleyelim:
- Başlangıçta 6 piyonu vardı, turun sonunda 8 piyonu oldu.
- Yani net olarak +2 piyon kazanmış.
- Sol Üst’ün sadece 2 tane komşusu var (Sol Alt ve A). Bir bölge komşusundan tur başına en fazla 1 piyon alabileceğine göre, +2 kazanabilmesi için her iki komşusundan da 1’er piyon almış olması şarttır.
- Sol Alt’tan zaten alır çünkü Sol Alt’ta 10 piyon var (10 > 6).
- A bölgesinden de 1 piyon alabilmesi için, A’daki sayının 6’dan büyük olması gerekir:A > 6
b) Sağ Bölgeyi İnceleyelim:
- Başlangıçta 8 piyonu vardı, turun sonunda 6 piyonu kaldı.
- Yani net olarak -2 piyon kaybetmiş.
- Sağ Bölge’nin de yalnızca 2 tane komşusu var (A ve Orta Alt).
- -2 piyon kaybedebilmesi için her iki komşusuna da 1’er piyon vermiş olması gerekir.
- Orta Alt’a (7) zaten verir çünkü 8 > 7’dir.
- A bölgesine de piyon verebilmesi için başlangıçta Sağ Bölge’nin A’dan büyük olması gerekir:8 > A
c) Eşitsizlikleri Birleştirelim:
Piyon sayıları birer tam sayı olduğuna göre:
3. B Sayısını Toplam Piyon Korunumundan Bulalım
Piyonlar yalnızca tahta içerisinde el değiştirdiği için başlangıçtaki toplam ile sondaki toplam birbirine eşit olmak zorundadır.
-
Başlangıçtaki Toplam Piyon:
\text{Toplam} = 6 + 10 + A + 7 + 8A = 7 olduğunu bulmuştuk:
\text{Toplam} = 6 + 10 + 7 + 7 + 8 = 38 -
Sondaki Toplam Piyon:
\text{Toplam} = 8 + 7 + B + 9 + 6 = 30 + B
Bu iki toplam eşit olmalıdır:
(Sağlamasını yaparsak: A=7 iken; Sol Alt’tan (10) +1, Sağ’dan (8) +1 alır, Sol Üst’e (6) -1 verir. Net değişim: +1 + 1 - 1 = +1. Sonuçta 7 + 1 = 8 olur, yani B=8 doğrulanır.)
4. Sonuç
Bizden A + B toplamı istenmişti:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Anlaşılmayan veya zihnini kurcalayan bir geçiş adımı var mı, tekrar üzerinden geçelim mi?