Bir otomobil sürücüsü, iki şehir arasındaki yolun \frac{5}{16}'sını gidince mola veriyor. Bu otomobil sürücüsü 45 km sonra mola vermiş olsaydı yolun yarısında mola vermiş olacaktı. Buna göre iki şehir arasındaki yolun uzunluğu kaç kilometredir?
Sorunun Çözümü:
Verilenler:
- Yolun tamamı: x km (bulmamız gereken)
- İlk mola: Yolun \frac{5}{16}'sında
- Eğer 45 km sonra mola verseydi, yolun yarısında mola vermiş olacaktı.
1. Adım: İlk molanın yeri
İlk mola, yolun \frac{5}{16}'sında olduğuna göre:
\text{İlk mola mesafesi} = \frac{5}{16} x
2. Adım: 45 km sonra mola verseydi, yolun yarısında mola vermiş olacaktı
Bu durumda mola mesafesi:
\frac{5}{16} x + 45 = \frac{1}{2} x
3. Adım: Denklemi kur ve çöz
\frac{5}{16} x + 45 = \frac{1}{2} x
Öncelikle \frac{1}{2} x kesrini \frac{8}{16} x olarak yazalım:
\frac{5}{16} x + 45 = \frac{8}{16} x
Her iki taraftan \frac{5}{16} x çıkaralım:
45 = \frac{8}{16} x - \frac{5}{16} x = \frac{3}{16} x
4. Adım: x'i bul
45 = \frac{3}{16} x \implies x = 45 \times \frac{16}{3} = 15 \times 16 = 240
Sonuç:
İki şehir arasındaki yolun uzunluğu 240 km’dir.
Cevap: B) 240
Özet Tablosu
| Bilgi | Değer |
|---|---|
| Yolun tamamı | x km |
| İlk mola mesafesi | \frac{5}{16} x km |
| İkinci mola mesafesi (45 km sonra) | \frac{1}{2} x km |
| Denklemi | \frac{5}{16} x + 45 = \frac{1}{2} x |
| Yol uzunluğu (x) | 240 km |
Eğer başka sorularınız varsa, sormaktan çekinmeyin! @Kader1
14. Bir otomobil sürücüsü problemi
Soru Tekrarı
Bir otomobil sürücüsü, iki şehir arasındaki yolun $\tfrac{5}{16}$’sını gidince mola veriyor. Bu otomobil sürücüsü 45 km sonra mola vermiş olsaydı yolun yarısında mola vermiş olacaktı. Buna göre iki şehir arasındaki yol uzunluğu kaç kilometredir?
A) 192 B) 240 C) 272 D) 320
İçindekiler
- Problemin Anlaşılması
- Değişken ve Denklemin Kurulması
- Denklemin Çözümü
- Sonucun Doğrulanması ve Seçenek Kontrolü
- Alternatif Yaklaşım
- Özet Tablo
- Sonuç
1. Problemin Anlaşılması
- Toplam yol uzunluğunu D ile gösterelim.
- Sürücü ilk molayı, toplam yolun $\tfrac{5}{16}$’sını kat ettikten sonra veriyor.
- Eğer 45 km daha gitseydi, yani \tfrac{5}{16}D + 45, toplam yolun yarısına (\tfrac{1}{2}D) ulaşmış olacaktı.
Temel fikir:
\tfrac{5}{16}D ile \tfrac{1}{2}D arasındaki fark tam olarak 45 km’dir.
2. Değişken ve Denklemin Kurulması
- D = İki şehir arasındaki toplam yol (km).
- İlk mola noktası: \tfrac{5}{16}D.
- Yarım yol noktası: \tfrac{1}{2}D.
- Aralarındaki mesafe:
\tfrac{1}{2}D - \tfrac{5}{16}D = 45
Denklemi doğru kurmak için:
\tfrac{1}{2}D - \tfrac{5}{16}D = 45
3. Denklemin Çözümü
-
Paydaları eşitleyelim (16 üzerinden):
\tfrac{1}{2}D = \tfrac{8}{16}D
Dolayısıyla denklem
\tfrac{8}{16}D - \tfrac{5}{16}D = 45 -
Farkı alalım:
\tfrac{(8 - 5)}{16}D = 45 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{3}{16}D = 45 -
$D$’yi yalnız bırakalım:
D = 45 \times \tfrac{16}{3} = 45 \times \tfrac{16}{3} = 15 \times 16 = 240
Böylece D = \mathbf{240\ \text{km}} bulunur.
4. Sonucun Doğrulanması ve Seçenek Kontrolü
Seçenekler arasında 240 km (B şıkkı) yer almaktadır.
- İlk molada gidilen mesafe:
\tfrac{5}{16} \times 240 = 75\ \text{km} - 45 km daha gidildiğinde:
75 + 45 = 120\ \text{km} - Toplam yolun yarısı:
\tfrac{1}{2} \times 240 = 120\ \text{km}
Kontrolümüz doğru: 120 km = 120 km.
5. Alternatif Yaklaşım
Probleme orantı yöntemiyle de yaklaşabiliriz.
- Toplamı “16 parçadan” oluşan yolu düşünelim.
- Sürücü 5 parça yol gittikten sonra mola veriyor.
- Yarım yol, toplamın 8 parçasıdır.
- Parçalar arasındaki fark:
8 - 5 = 3 parçadır ve bu 45 km’ye eşit. - O hâlde 1 parça:
\dfrac{45}{3} = 15\ \text{km} - Toplam 16 parça ise:
16 \times 15 = 240\ \text{km}
Aynı sonucu orantıyla da elde ederiz.
6. Özet Tablo
| Aşama | İfade / Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| İlk mola | \tfrac{5}{16}D | 75 km |
| Yarım yol | \tfrac{1}{2}D | 120 km |
| Aradaki fark | 120 - 75 | 45 km |
| Denklem | \tfrac{3}{16}D = 45 | – |
| D değeri | 45 \times \tfrac{16}{3} | 240 km |
| Şık Seçimi | B) 240 | Doğru |
7. Sonuç
Bu probleme göre iki şehir arasındaki toplam mesafe 240 km’dir. Doğru şık B) 240 olarak bulunmuştur. @Kader1