Bir otomobil galerisinde A, B, C, D ve E marka birer araba yan yana dizilmiştir. Bu beş arabanın dizilişiyle ilgili
p1 A ile B arasında tam olarak 1 araba vardır.
önermeleri veriliyor.
(p \vee q) Rightarrow (r Rightarrow p) önermesi yanlış olduğuna göre tam ortada hangi marka araba vardır?
A) A B) B C) C D) D E) E
Arabaların Dizilişi ve Önerme Mantığı Probleminin Çözümü
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- İse (\Rightarrow) Bağlacı Kuralı: 1 \Rightarrow 0 \equiv 0, diğer tüm durumlarda p \Rightarrow q \equiv 1 olur.
- Veya (\vee) Bağlacı Kuralı: 0 \vee 1 \equiv 1, 1 \vee 0 \equiv 1, 1 \vee 1 \equiv 1, 0 \vee 0 \equiv 0.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bileşik Önermenin Doğruluk Değerlerini Bulma
Verilen bileşik önermenin yanlış (0) olduğu belirtilmiştir:
(p \vee q) \Rightarrow (r \Rightarrow p) \equiv 0
İse bağlacının yanlış olabilmesi için ilk kısmın doğru (1), ikinci kısmın yanlış (0) olması gerekir:
- p \vee q \equiv 1
- r \Rightarrow p \equiv 0
r \Rightarrow p \equiv 0 denkliğinden:
- r \equiv 1
- p \equiv 0 elde edilir.
p \equiv 0 değerini p \vee q \equiv 1 ifadesinde yerine yazarsak:
- 0 \vee q \equiv 1 \implies q \equiv 1 bulunur.
Buna göre önermelerin doğruluk durumları:
- p \equiv 0 (Yanlış: A ile B arasında tam olarak 1 araba yoktur.)
- q \equiv 1 (Doğru: B ile C arasında tam olarak 2 araba vardır.)
- r \equiv 1 (Doğru: C ile D arasında tam olarak 3 araba vardır.)
Adım 2 — Arabaların Dizilişini Belirleme
Toplam 5 araba yan yana dizilmiştir. Konumları 1, 2, 3, 4, 5 olarak numaralandıralım:
-
r \equiv 1 kuralı: C ile D arasında tam 3 araba olması için bu iki araba en uçlarda (1. ve 5. sıralarda) yer almalıdır:
- Diziliş taslağı: (C, \_, \_, \_, D) veya (D, \_, \_, \_, C)
-
q \equiv 1 kuralı: B ile C arasında tam 2 araba bulunmalıdır:
- C, 1. sırada ise B, 4. sırada olmalıdır: (C, \_, \_, B, D)
- C, 5. sırada ise B, 2. sırada olmalıdır: (D, B, \_, \_, C)
-
p \equiv 0 kuralı: A ile B arasında tam 1 araba olmamalıdır:
- İlk taslakta (C, \_, \_, B, D) boş kalan yerler 2. ve 3. sıralardır. Eğer A arabası 2. sıraya konulursa, A (2. sıra) ile B (4. sıra) arasında tam 1 araba (3. sıra) kalır ve p doğru (1) olur. Bu durum p \equiv 0 şartına aykırıdır.
- Dolayısıyla A arabası 3. sırada, E arabası ise 2. sırada olmalıdır.
- Oluşan Diziliş: C - E - A - B - D (veya simetriği olan D - B - A - E - C)
Her iki simetrik dizilişte de tam ortadaki (3. sıradaki) araba A marka arabadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (A)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Koşullu Önerme (İse Bağlacı)
- Tanım: p \Rightarrow q önermesi sadece hipotez doğru (1) ve hüküm yanlış (0) iken yanlış (0) değerini alır.
- Bu problemde: (p \vee q) \Rightarrow (r \Rightarrow p) \equiv 0 eşitliğinden yola çıkılarak her bir alt önermenin doğruluk değeri tek ihtimalle tespit edilmiştir.
2. Doğrusal Sıralama Mantığı
- Tanım: n elemanlı bir sırada iki eleman arasında k eleman bulunması, bu elemanların indis farkının |x - y| = k + 1 olması anlamına gelir.
- Bu problemde: 5 elemanlı sırada aralarında 3 eleman olan C ve D, dizinin uç noktaları olan 1. ve 5. konumlara yerleştirilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
p \equiv 0 Şartını Unutmak
- Yanlış: Kalan A ve E harflerini rastgele yerleştirip ortada E olduğunu varsaymak.
- Doğru: p \equiv 0 olduğu için A ile B arasında 1 araba bırakacak konumu (2. sırayı) eleyip A’yı 3. sıraya yazmak.
- Neden yanlış: Önermenin yanlış olması, belirtilen durumun kesinlikle gerçekleşmemesi gerektiği anlamına gelir.
Bu mantık sorularında doğruluk tablosu ve sıralama adımlarını pekiştirmek için benzer bir mantık-sıralama problemi çözmemi ister misin?