Bir ormanda çam, gürgen ve kestane olmak üzere üç çeşit ağaç vardır

Question Answer
1

Bir ormanda çam, gürgen ve kestane olmak üzere üç çeşit ağaç vardır.
Her dört ağaçtan birinin çam olduğu bu ormanda, gürgen ağaçlarının sayısı kestane ağaçlarının sayısının 5 katına eşittir.
Çam, gürgen ve kestane ağaçlarının sayıları sırasıyla a , b ve c olduğuna göre,
I. a + b + c
II.

a \cdot b + c

III.

(a + b) \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman çifttir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve III
E) II ve III

Bir ormanda çam, gürgen ve kestane olmak üzere üç çeşit ağaç vardır.
Bir ormanda çam, gürgen ve kestane olmak üzere üç çeşit ağaç vardır.1024×768 162 KB

2

Temel Sayı Kümelerinde Teklik ve Çiftlik Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ağaç sayıları pozitif tam sayılardır. Doğru orantı kurularak tüm değişkenler tek bir bilinmeyen cinsinden yazılır; katsayısı çift tam sayı olan çarpanlar sonucu her zaman çift sayı yapar.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Verilen Ağaç Sayıları Arasındaki Bağıntıların Kurulması
Çam sayısı a, gürgen sayısı b ve kestane sayısı c olarak verilmiştir. Toplam ağaç sayısı a + b + c’dir. Ormandaki her 4 ağaçtan biri çam olduğundan:

\frac{a}{a + b + c} = \frac{1}{4} \implies a + b + c = 4a \implies b + c = 3a

Gürgen sayısı kestane sayısının 5 katı olduğu için b = 5c eşitliği sağlanır. Bu değeri yerine yazalım:

5c + c = 3a \implies 6c = 3a \implies a = 2c

Böylece c = k (k \in \mathbb{Z}^+) seçilirse ağaç sayıları:

  • a = 2k
  • b = 5k
  • c = k olur.

Adım 2 — Öncüllerin Teklik ve Çiftlik Durumlarının İncelenmesi

  • I. a + b + c ifadesi:

    a + b + c = 2k + 5k + k = 8k

    k bir pozitif tam sayı olduğundan, 8k ifadesi 8’in tam katıdır ve her zaman çifttir.

  • II. a \cdot b + c ifadesi:

    a \cdot b + c = (2k) \cdot (5k) + k = 10k^2 + k

    k = 1 için 10(1)^2 + 1 = 11 (Tek) olur. Dolayısıyla her zaman çift değildir.

  • III. (a + b) \cdot c ifadesi:

    (a + b) \cdot c = (2k + 5k) \cdot k = 7k^2

    k = 1 için 7(1)^2 = 7 (Tek) olur. Dolayısıyla her zaman çift değildir.

:white_check_mark: CEVAP: A) Yalnız I (a + b + c = 8k)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: “Her zaman” ifadesi içeren teklik-çiftlik sorularında, değişkene k = 1 (tek) ve k = 2 (çift) gibi pratik değerler vererek çelişen durumları hızlıca eleyebilirsiniz. Katsayısı çift olan terimler (8k gibi) değişkenin değerine bağlı olmaksızın daima çifttir.