Bir okulun yemekhanesinde her gün iki farklı ana yemek seçeneği sunulmaktadır. Her öğrenci bu iki yemekten yalnızca birini seçmekte ve bir porsiyon almaktadır. Yemekhane yönetimi, hazırlanan yemeklerin bir kısmının gün sonunda arttığını fark edince öğrencilerin tercihlerini daha doğru tahmin ederek yemek israfını azaltmak istemiştir. Bu amaçla iki hafta boyunca pazartesi günlerinde öğrencilerin hangi yemeği tercih ettiği kaydedilmiştir.
| Gözlem günü | Makarna tercih eden | Pilav tercih eden | Toplam öğrenci |
|1--- | 1— | 1--- | 1— |
| 1. pazartesi | 72 | 48 | 120 |
| 2. pazartesi | 84 | 56 | 140 |
Yemekhane sorumlusu, gelecek pazartesi okula 150 öğrencinin geleceğini öğrenmiştir. Yemeklerin hazırlanmasına başlanmadan önce mutfak çalışanlarından üç farklı öneri gelmiştir:
| Öneri | Makarna | Pilav |
|1--- | 1— |$ 1— |
| I | 75 porsiyon | 75 porsiyon |
| II | 90 porsiyon | 60 porsiyon |
A) İlk iki pazartesi günü kaydedilen toplam 260 yemek tercihinden rastgele seçilen birinin makarna tercihi olmasının deneysel olasılığını belirleyiniz. Bu sonuçtan yararlanarak gelecek pazartesi gelecek 150 öğrenciden yaklaşık kaçının makarna, kaçının pilav tercih edebileceğini tahmin ediniz. Tahmininize göre I, II ve III numaralı hazırlık önerilerinden hangisinin tercih edilmesi daha uygun olur? Kararınızı verilerle gerekçelendiriniz.
B) Yemekhane yönetimi bir ay sonra aynı çalışmayı yeniden yapmıştır. Bu kez aynı iki yemek seçeneğinin sunulduğu dört pazartesi günü boyunca toplam 400 yemek tercihi kaydedilmiştir. Her iki çalışmanın benzer koşullarda yapıldığı kabul edilmektedir.
| Tercih | Kaydedilen tercih sayısı |
|1--- | 1— |
| Makarna | 228 |
| Pilav | 172 |
Yeni gözlem sonuçlarına göre makarna tercih edilmesinin deneysel olasılığını bulunuz. Bu sonucu ilk iki pazartesi gününden elde edilen sonuçla karşılaştırınız. Yemekhane yönetiminin gelecekteki yemek miktarını belirlerken hangi gözlem sonuçlarına daha fazla güvenmesinin uygun olacağını açıklayınız. Bu soruyu cevaplamak için a maddesinde yaptığınız tahmininizi kullanmanız gerekmez.
C) Yemekhanede bu kez sebzeli yemek ve tavuk yemeği sunulacaktır. Daha önce yapılan bir gözlemde 200 öğrenciden 70’inin sebzeli yemeği tercih ettiği belirlenmiştir.
Yemekhaneye 240 öğrenci geleceğine göre, bu gözlemden yararlanarak yaklaşık kaç porsiyon sebzeli yemek hazırlanabileceğini tahmin ediniz.
Deneysel Olasılık ve Geleceğe Yönelik Değer Tahmini
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir olayın deneysel olasılığı, o olayın gerçekleşme sayısının toplam deneme (gözlem) sayısına bölünmesiyle bulunur (P = \frac{\text{İstenen Durum Frekansı}}{\text{Toplam Deneme Sayısı}}). Gelecekteki beklenen değer ise toplam birey sayısı ile bu deneysel olasılığın çarpılmasıyla tahmin edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — (a) Maddesi: Deneysel Olasılık ve Öneri Tercihi
- İlk iki pazartesi toplam makarna tercihi: 72 + 84 = 156
- Toplam gözlem sayısı: 120 + 140 = 260
- Makarnanın deneysel olasılığı:P(\text{Makarna}) = \frac{156}{260} = \frac{3}{5} = 0{,}60 \text{ (\%60)}
- Gelecek 150 öğrenci için tahmini tercihler:
- Makarna: 150 \times \frac{3}{5} = 90 porsiyon
- Pilav: 150 - 90 = 60 porsiyon
- Gerekçeli Karar: Hesaplanan 90 makarna ve 60 pilav porsiyonu doğrudan II. Öneri ile tam olarak örtüştüğü için II. önerinin seçilmesi en uygundur.
Adım 2 — (b) Maddesi: İkinci Çalışmanın Deneysel Olasılığı ve Güvenilirlik Analizi
- Yeni gözlemde toplam 400 tercihten 228’i makarnadır:P(\text{Yeni Makarna}) = \frac{228}{400} = \frac{57}{100} = 0{,}57 \text{ (\%57)}
- Karşılaştırma: İlk çalışmada elde edilen \%60 (0{,}60) olasılık ile yeni çalışmadaki \%57 (0{,}57) olasılık birbirine oldukça yakındır.
- Güvenilirlik Değerlendirmesi: Yemekhane yönetimi ikinci gözlem sonuçlarına (400 kişilik çalışmaya) daha fazla güvenmelidir. Çünkü istatistikte ve olasılık teorisinde (Büyük Sayılar Yasası) örneklem büyüklüğü (deneme sayısı) arttıkça elde edilen deneysel olasılık gerçek tercihi daha yüksek hassasiyetle yansıtır.
Adım 3 — (c) Maddesi: Sebzeli Yemek Tercih Tahmini
- 200 öğrenciden 70’inin sebzeli yemek seçme olasılığı:P(\text{Sebzeli}) = \frac{70}{200} = \frac{7}{20} = 0{,}35 \text{ (\%35)}
- Yemekhaneye gelecek 240 öğrenci için tahmini porsiyon miktarı:\text{Tahmin} = 240 \times \frac{7}{20} = 12 \times 7 = 84 \text{ porsiyon}
CEVAP:
- a) Olasılık: \frac{3}{5} (%60); Makarna: 90, Pilav: 60 \rightarrow II. Öneri uygundur.
- b) Yeni olasılık: \frac{57}{100} (%57); Örneklem sayısı daha fazla (400 > 260) olduğu için ikinci çalışma daha güvenilirdir.
- c) 84 porsiyon sebzeli yemek hazırlanmalıdır.
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Teorik olasılık formüllerle hesaplanan kesin değerdir; deneysel olasılık ise geçmiş deney ve anket sonuçlarına dayanır. Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik değere yaklaşır ve hata payı azalır.