Bir okulun tarım uygulama alanında yağmur suyu-
nu depolamak amacıyla balık yetiştiriciliğine uygun bir
gölet tasarlanmaktadır. Çevre mühendisi, göletin yatay
kesitini bilgisayar ortamında geliştirdiği bir simülasyonla
incelemektedir.
Aşağıda bu simülasyon ekranına ait bir görünüm
verilmiş olup bu göletin en büyük derinliği 3 metredir.
Buna göre yeni tasarım uygulandığında göletin
en büyük derinliği, ilk tasarıma göre kaç metre
azalmıştır?
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,25 E) 3
Parabol Grafiği ve Düşey Öteleme ile Derinlik Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Su yüzeyi x ekseni (y = 0) olarak kabul edildiğinde, göletin taban profili parabol eğrisi ile modellenir ve en büyük derinlik parabolün tepe noktasında (y_{\text{tepe}}) oluşur:
\text{Derinlik} = |y_{\text{tepe}}| = -y_{\text{tepe}}
- Bir f(x) fonksiyonuna pozitif bir k sabitinin eklenmesiyle elde edilen g(x) = f(x) + k fonksiyonu, grafiğin y ekseni boyunca k birim yukarı ötelenmesini sağlar:
y_{\text{yeni}} = y_{\text{eski}} + k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İlk Tasarımın Tepe Noktası Değerini Belirleme
Simülasyonda su yüzeyi x ekseni (y = 0) üzerindedir. Göletin en büyük derinliği 3\text{ metre} olarak verildiğinden, ilk tasarımı temsil eden f(x) parabolünün minimum (en dip) noktasındaki ordinat değeri:
y_1 = -3\text{ metre}
olur.
Adım 2 — Yeni Tasarım Fonksiyonunu İnceleme
Simülasyon ekranında yeni tasarımı gösteren kırmızı eğrinin fonksiyon kuralı şu şekilde tanımlanmıştır:
g(x) = f(x) + 2
Bu dönüşüm, ilk gölet profilinin düşey doğrultuda 2\text{ birim} yukarı ötelenmesi anlamına gelir.
Adım 3 — Yeni Derinliği ve Azalma Miktarını Hesaplama
Yeni parabolün tepe noktasının ordinat değeri:
y_2 = y_1 + 2 = -3 + 2 = -1\text{ metre}
olur. Dolayısıyla yeni tasarımda göletin en büyük derinliği:
\text{Yeni Derinlik} = |-1| = 1\text{ metre}
olarak bulunur.
İlk tasarıma göre derinlikteki azalma miktarı:
\Delta h = 3\text{ m} - 1\text{ m} = 2\text{ metre}
olarak hesaplanır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Düşey Öteleme: y = f(x) + k dönüşümünde k > 0 ise fonksiyonun grafiği tepe noktasıyla birlikte k birim yukarı ötelenir; bu da çukurun tabanını yukarı taşıyarak derinliği k birim azaltır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Yeni derinlik olan 1\text{ metre} değerini bulup doğrudan şıklarda 1’i (A seçeneği) işaretlemek.- Doğru Yaklaşım: Soruda yeni derinlik değil, derinliğin kaç metre azaldığı sorulduğu için ilk derinlikten yeni derinliği çıkarmak (3 - 1 = 2).
Fonksiyon dönüşümlerinde yatay ve düşey ötelemelerin tepe noktasına etkisini pekiştirmek için benzer bir soru daha çözmek ister misin?
@sorumatik_ai burda parabol tepe noktası (x-4)karesi -3 olarak yazıp bulamazmıyız
Parabol Denklemi Kurarak Çözüm Yöntemi
Harika bir yaklaşım! Evet, soruyu parabolün tepe noktası formülü olan f(x) = a(x - r)^2 + k kalıbını kullanarak da tam denklem üzerinden çözebilirsin.
Geliştirdiğin bu mantığı adım adım uygulayalım:
1. Parabolün Tepe Noktası ve Katsayısının Belirlenmesi
-
Tepe Noktası (T(r, k)):
Grafikte su yüzeyinin genişliği 0 ile 8 arasındadır. Parabol simetrik olduğundan tepe noktasının apsisi tam ortadadır:r = \frac{0 + 8}{2} = 4En büyük derinlik 3\text{ metre} olduğundan taban noktasının ordinatı:
k = -3Buradan tepe noktası T(4, -3) olur.
-
Parabolün Genel Denklemi:
f(x) = a(x - 4)^2 - 3 -
Başkatsayı (a):
Grafik orijinden, yani (0, 0) noktasından geçtiği için bu noktayı denklemde yerine yazalım:f(0) = a(0 - 4)^2 - 3 = 016a - 3 = 0 \implies a = \frac{3}{16}
İlk tasarımın tam denklemi:
f(x) = \frac{3}{16}(x - 4)^2 - 3
2. Yeni Fonksiyonun (g(x)) Elde Edilmesi
Soruda yeni tasarım g(x) = f(x) + 2 olarak verilmiştir:
g(x) = \left[\frac{3}{16}(x - 4)^2 - 3\right] + 2
g(x) = \frac{3}{16}(x - 4)^2 - 1
3. Yeni Derinlik ve Değişimin Hesaplanması
- Yeni parabolün tepe noktası ordinatı k_{\text{yeni}} = -1’dir.
- Bu da yeni göletin en büyük derinliğinin 1\text{ metre} olduğunu gösterir.
- İlk derinlik 3\text{ metre}, yeni derinlik 1\text{ metre} olduğuna göre azalma miktarı:3 - 1 = 2\text{ metre}olarak bulunur.
Pratik Sınav İpucu
Senin kurduğun denklem matematiksel olarak %100 doğrudur ve konuyu ne kadar iyi kavradığını gösterir.
Ancak ÖSYM ve deneme sınavlarında zaman kazanmak için şu pratik kuralı hatırlamak işini çok kolaylaştırır:
Bir fonksiyona dışarıdan eklenen sabit sayı (+k), grafiğin şeklini ve başkatsayısını değiştirmeden grafiği doğrudan k birim yukarı öteler.
Bu nedenle f(x) + 2 dendiğinde, taban noktası doğrudan 2 birim yukarı çıkacağı için derinlik de doğrudan 2 metre azalır.
Fonksiyon dönüşümlerinde f(x + 2) ile f(x) + 2 arasındaki farkı incelemek ister misin?
@sorumatik_ai Bana sorunun sadece cevabını yaz. uzun açıklama yazma sadece cevapları, doğru cevapları yaz.
@Akademik_Rehber Benzer örnek sorular yaz
Asıl Sorunun Cevabı
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Benzer Örnek Sorular
Soru 1
Bir su kanalının kesiti f(x) parabolü ile modellenmiştir. Kanalın en derin noktası su yüzeyinden 5\text{ metre} aşağıdadır. Mühendisler kanal tabanını doldurarak yeni kesiti g(x) = f(x) + 1{,}5 fonksiyonu ile revize etmiştir.
Buna göre, yeni kanalın en büyük derinliği kaç metre azalmıştır?
A) 1
B) 1{,}5
C) 2
D) 3{,}5
E) 5
Doğru Cevap: B) 1,5
Soru 2
Kesiti parabolik bir çukur şeklinde olan bir maden ocağının zemin profili f(x) fonksiyonu ile ifade edilmektedir. Ocağın en derin noktasının zemin seviyesine uzaklığı $12\text{ metre}$dir. Güvenlik gerekçesiyle taban yükseltilerek yeni profil h(x) = f(x) + 4 olarak düzenlenmiştir.
Buna göre yeni durumda maden ocağının en büyük derinliği kaç metre olur?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 16
Doğru Cevap: C) 8
Soru 3
Simetrik bir köprü kemerinin alt profili y = f(x) parabolü ile gösterilmektedir. Nehir yüzeyine göre kemerin tepe noktasının yüksekliği $6\text{ metre}$dir. Su seviyesi yükseldiğinde kemerin nehre olan bağıl yüksekliği k(x) = f(x) - 1{,}8 olarak modellenmiştir.
Buna göre, kemerin en yüksek noktasının yeni su yüzeyine olan uzaklığı kaç metre azalmıştır?
A) 1{,}8
B) 2{,}2
C) 4{,}2
D) 6
E) 7{,}8
Doğru Cevap: A) 1,8
Bu soruların ayrıntılı çözümlerini veya tepe noktası formülüyle ispatlarını incelemek ister misin?
@sorumatik_ai grafikli yaz
Grafikli Benzer Örnek Sorular
Soru 1
Aşağıdaki dik koordinat düzleminde bir su birikintisinin ilk kesitini gösteren f(x) parabolü ile tabanı doldurulduktan sonraki yeni kesitini gösteren g(x) = f(x) + 1 parabolü modellenmiştir. x ekseni su yüzeyini temsil etmektedir.
y (m)
^
| Su Yüzeyi
-------+-----------------------> x (m)
O| 6
| \ /
| \ g(x) /
| \ . . . . . /
-3 ---+-----\----------/------ (Yeni Taban: -3)
| \ f(x) /
| \ /
-4 ---+--------\----/--------- (İlk Taban: -4)
| \ /
| T(3, -4)
İlk durumda göletin en büyük derinliği 4\text{ metre} olduğuna göre, yeni tasarımda en büyük derinlik ilk duruma göre kaç metre azalmıştır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 3{,}5
E) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: A) 1 (Azalma miktarı doğrudan düşey öteleme miktarı olan $1\text{ metre}$dir.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 2
Bir kaykay pistinin enine kesiti f(x) parabolü ile tasarlanmıştır. Güvenlik önlemleri kapsamında pistin tabanına dolgu yapılarak h(x) = f(x) + 2{,}5 eğrisi elde edilmiştir.
y (m)
^ Zemin Seviyesi
-------+-----------------------------> x (m)
O| 10
| \ /
| \ h(x)=f(x)+2,5 /
| \ . . . . . . . /
| \ / \ /
| \ / f(x) v
| \/
| |
-6 ---+------+----------------------- (İlk Dip Noktası: -6)
| T(5, -6)
İlk tasarımda pistin en derin noktası zemin seviyesinden 6\text{ metre} aşağıda olduğuna göre, yeni pistin en büyük derinliği kaç metre olur?
A) 2{,}5
B) 3{,}5
C) 4
D) 4{,}5
E) 8{,}5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: B) 3,5 (Yeni derinlik: |-6 + 2{,}5| = |-3{,}5| = 3{,}5\text{ metre})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 3
Aşağıda bir tünelin giriş profili ters parabol biçiminde f(x) fonksiyonu ile gösterilmiştir. Yol zemini 1\text{ metre} yükseltilerek yeni zemin çizgisi oluşturulmuş ve tünel yüksekliği k(x) = f(x) - 1 fonksiyonu ile modellenmiştir.
y (m)
^ T(4, 5)
5 ---+------------/\------------- (Eski Tepe Noktası)
4 ---+-----------/ \------------ (Yeni Tepe Noktası)
| / k(x)\
| / . . \
| / f(x) \
| / \
0 ---+------+-------------+------> x (m)
O 0 8 (Eski Yol)
İlk durumda tünelin maksimum yüksekliği 5\text{ metre} olduğuna göre, yol yükseltildikten sonra tünelin maksimum yüksekliği kaç metre olur?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) 4 (Yeni yükseklik: 5 - 1 = 4\text{ metre})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu grafikli soruların denklemlerini kurarak köklerini ve tepe noktalarını birlikte bulmak ister misin?