Bir okulda yardıimlaşma kulübü taratindan pakatlenen
12 adet yardim kolisinin ağırliklarn, kilogram cinsindern
birbirinden farklı birer tam sayı olup küçükten büyüge
doğru aşağıdaki gibi siralanıyor:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, x, y
Bu koliler, her gruptaki kolilerin ağırliklari toplamı
birbirine eşit olacak biçimde 4 farklı gruba aynidginda
en ağır koli tek başına bir grubu oluşturmaktadır.
Buna göre y-x farkı gr pok kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Kolilerin Ağırlıkları ve Grup Dağılımı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \text{Toplam Ağırlık} = \text{Grup Sayısı} \times \text{Bir Grubun Ağırlığı}
- Ardışık tam sayıların toplamı: \sum_{k=a}^{b} k = \frac{(a + b) \cdot n}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI & SEÇENEK ANALİZİ:
Adım 1 — Kolilerin Toplam Ağırlığını ve Grup Toplamını Belirleme:
Kolilerin ağırlıkları küçükten büyüğe sıralı ve birbirinden farklı tam sayılardır:
2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < 11 < x < y
Bu durumda x ve y tam sayıları için x \ge 12 ve y > x olmalıdır.
Koliler her birinin ağırlığı eşit olan 4 gruba ayrılıyor ve en ağır koli (y) tek başına bir grubu oluşturuyor. Dolayısıyla bir grubun ağırlığı y\text{ kg}'dır:
\text{Toplam Ağırlık} = 4 \times y = 4y
Adım 2 — Denklem Kurma:
Tüm kolilerin ağırlıkları toplamı 4y’ye eşittir:
(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) + x + y = 4y
İlk 10 kolinin toplam ağırlığı:
\frac{(2 + 11) \cdot 10}{2} = 65\text{ kg}
Denklemde yerine yazalım:
65 + x + y = 4y \implies 65 + x = 3y \implies x = 3y - 65
Adım 3 — y - x Farkının En Büyük Değerini Bulma:
İstenen fark ifadesinde x yerine 3y - 65 yazalım:
y - x = y - (3y - 65) = 65 - 2y
65 - 2y ifadesinin en büyük değeri alabilmesi için y’nin alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmalıyız.
- Koliler küçükten büyüğe sıralandığı için x > 11 \implies x \ge 12 olmalıdır.
x = 3y - 65 \ge 12 \implies 3y \ge 77 \implies y \ge 25{,}66\dots
y bir tam sayı olduğundan y’nin alabileceği en küçük değer 26’dır.
Adım 4 — Grupların Sağlaması (y = 26 için):
- y = 26 ise x = 3(26) - 65 = 13 olur.
- Kalan 11 koli: \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13\}
- Bu koliler her birinin toplamı 26\text{ kg} olan 3 gruba ayrılabilir:
- 1. Grup: 13 + 11 + 2 = 26\text{ kg}
- 2. Grup: 10 + 9 + 7 = 26\text{ kg}
- 3. Grup: 8 + 6 + 5 + 4 + 3 = 26\text{ kg}
- 4. Grup: y = 26\text{ kg} (tek başına)
Grup şartları eksiksiz sağlandığından:
y - x = 26 - 13 = 13
- A Seçeneği (11): y=27 durumu için geçerlidir ancak y-x değerini maksimize etmez.
- B Seçeneği (12): 65 - 2y ifadesi çift sayı veremez çünkü 65 tek, 2y çift sayıdır; sonuç daima tektir.
- C Seçeneği (13): y=26 minimum değeri için ulaşılan en büyük doğru farktır.
- D Seçeneği (14): Çift sayı olamayacağı için elenir.
- E Seçeneği (15): y \le 25 olmasını gerektirir ancak y \ge 26 olmak zorundadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C — 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?