Bir okulda, her sınıfa asılmak üzere eşkenar üçgen biçiminde bir poster hazırlanmıştır. Şekildeki gibi tabanına paralel iki doğruyla üç bölmeye ayrılan bu posterde bölmelerin yükseklikleri birbirine eşittir.
Daha sonra, okul müdürü posterdeki bölmelerin alanlarının bölmelerde yazan yüzde değerleri ile doğru orantılı olmasını istemiştir. Bunun üzerine posterin alanı değişmeyecek şekilde bölmeler yeniden düzenlenmiştir. Son durumda, “Davranış” bölmesinin alanının ilk duruma göre 24 birimkare arttığı hesaplanmıştır.
Buna göre, posterin alanı kaç birimkaredir?
A) 270
B) 300
C) 320
D) 360
E) 400
Üçgende Benzerlik ve Alan Oranları İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k^2). Yükseklikleri eşit aralıklarla artan paralel kesitlerde üçgenlerin alanları 1, 4, 9 oranında, bu kesitlerin oluşturduğu bölmelerin alanları ise ardışık tek sayılar kuralına göre S, 3S, 5S şeklinde dağılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İlk Durumdaki Alan Paylaşımının Belirlenmesi
Poster tabanına paralel iki doğruyla yükseklikleri eşit üç parçaya (h, h, h) ayrıldığından, tepeden itibaren benzerlik oranları 1 : 2 : 3 olur. Bu üçgenlerin alanları sırasıyla 1^2 = 1, 2^2 = 4 ve 3^2 = 9 ile orantılıdır. Bölmelerin alanları yukarıdan aşağıya doğru:
- Davranış alanı: S
- Yetenek alanı: 4S - S = 3S
- Bilgi alanı: 9S - 4S = 5S
- Postere ait toplam alan: A = 9S \implies S = \frac{A}{9}
Adım 2 — İkinci Durumdaki Davranış Alanı ve Değişimin Hesaplanması
Yeni düzenlemede “Davranış” bölmesinin alanı, posterin toplam alanının \%20’si (\frac{1}{5}'i) olmuştur.
\text{Davranış}_{\text{yeni}} = \frac{20}{100} \cdot A = \frac{A}{5}
Davranış bölmesinin alanı 24\text{ birimkare} arttığına göre:
\frac{A}{5} - \frac{A}{9} = 24
\frac{9A - 5A}{45} = 24 \implies \frac{4A}{45} = 24
4A = 1080 \implies A = 270\text{ birimkare}
CEVAP: A) 270 (\text{Posterin Alanı} = 270\text{ birimkare})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Tabanlara paralel eşit aralıklı bölmelerde alanların S, 3S, 5S, \dots şeklinde ardışık tek sayılarla artması geometri sorularında zaman kazandıran en temel pratik kuraldır. Toplam alanın 9S olduğunu doğrudan görerek kesir işlemlerini çok daha hızlı tamamlayabilirsiniz.