Bir okul kütüphanesi için iki farklı türde kitap alınmış ve bu kitaplar uzunlukları birbirine eşit olan iki boş rafa dizilmiştir.
Birinci rafa sadece kalınlığı 15 mm olan şiir kitapları, ikinci rafa ise sadece kalınlığı 20 mm olan romanlar aralarında hiç boşluk kalmayacak şekilde yerleştirilmiştir.
Her iki raftaki kitapların toplam uzunlukları birbirine eşittir.
Bu iki rafta bulunan toplam kitap sayısının 40’tan fazla olduğu bilindiğine göre, kütüphaneye alınan roman sayısı en az kaçtır?
A) 15
B) 18
C) 21
D) 24
EKOK Problemleri ve Raf Uzunluğu Hesaplama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Farklı kalınlıklardaki nesnelerin aynı uzunluğu tam olarak doldurabilmesi için raf uzunluğu, parça kalınlıklarının En Küçük Ortak Katı (EKOK) veya bu katın tam sayı katları olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Raf Uzunluğunun En Küçük Değerini (EKOK) Bulma
Şiir kitaplarının kalınlığı 15\text{ mm}, romanların kalınlığı ise 20\text{ mm} olarak verilmiştir. Rafların uzunlukları eşit ve tam dolduğuna göre, bir rafın uzunluğu 15 ve 20’nin ortak katı olmalıdır:
\text{EKOK}(15, 20) = 60\text{ mm}
Buna göre bir rafın uzunluğu 60k\text{ mm} (k bir pozitif tam sayı) biçimindedir.
Adım 2 — Kitap Sayılarını k Değişkenine Bağlama
Her iki raftaki kitap sayılarını raf uzunluğunu kitap kalınlığına bölerek belirleriz:
\text{Şiir Kitabı Sayısı} = \frac{60k}{15} = 4k
\text{Roman Sayısı} = \frac{60k}{20} = 3k
\text{Toplam Kitap Sayısı} = 4k + 3k = 7k
Adım 3 — Koşulu Sağlayan En Küçük k Değerini ve Roman Sayısını Hesaplama
Toplam kitap sayısının 40’tan fazla olduğu belirtilmiştir:
7k > 40
Bu eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif k tam sayısı k = 6’dır (7 \cdot 6 = 42 > 40).
Buradan kütüphaneye alınan en az roman sayısı:
\text{Roman Sayısı} = 3k = 3 \cdot 6 = 18
CEVAP: B) 18 (Alınan roman sayısı en az 18’dir)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda raf uzunluğuna değil doğrudan “toplam kitap sayısına” (7k) alt sınır verilmiştir. Önce k katsayısını minimum yapıp ardından sadece istenen tür olan roman katsayısı (3k) ile çarpmak işlem hatasını önler.