Bir okul kantini işleten Galip, farklı hacimlerdeki su şişelerini düzenlemek için üç ayrı koli kullanmaktadır. Galip birinci koliye yalnızca 1,5 litrelik, ikinci koliye yalnızca 1 ve 0,5 litrelik, üçüncü koliye ise yalnızca 0,5 litrelik su şişelerini yerleştirmektedir.
Galip boş kolilerin her birine eşit sayıda şişe yerleştirdiğinde kolilerdeki su miktarının toplamının 25 litre olduğunu hesaplamıştır.
Galip’in ikinci koliye 1 litrelik ve 0,5 litrelik şişelerden en az birer tane koyduğu bilindiğine göre ikinci koliye yerleştirdiği 1 litrelik su şişesi kaç adet olabilir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Birinci Dereceden Denklem ve Sayı Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Her bir kolideki toplam şişe sayısını ortak bir değişkenle (n) ifade edip kolilerdeki toplam hacim bağıntısını kurarak elde edilen doğrusal denklemin pozitif tam sayı çözümleri incelenir: \text{Toplam Hacim} = V_1 + V_2 + V_3.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kolilerdeki Şişe Sayılarını ve Hacimleri Tanımlama
Her koliye eşit sayıda (n adet) şişe konulduğu verilmiştir. İkinci kolideki 1 litrelik şişe sayısı x, 0,5 litrelik şişe sayısı y olsun:
- 1. Koli: Yalnızca 1,5 litrelik n adet şişe \rightarrow V_1 = 1,5n litre
- 3. Koli: Yalnızca 0,5 litrelik n adet şişe \rightarrow V_3 = 0,5n litre
- 2. Koli: x adet 1 litrelik ve y = n - x adet 0,5 litrelik şişe \rightarrow V_2 = 1 \cdot x + 0,5(n - x) = 0,5n + 0,5x litre
Adım 2 — Toplam Hacim Denklemini Kurma ve Çözme
Üç kolideki toplam su hacmi 25 litredir:
V_1 + V_2 + V_3 = 1,5n + (0,5n + 0,5x) + 0,5n = 25
2,5n + 0,5x = 25
Eşitliğin her iki tarafını 2 ile genişletelim:
5n + x = 50 \implies x = 50 - 5n = 5(10 - n)
Adım 3 — Tam Sayı ve Sınır Şartlarını İnceleme
İkinci kolide her iki şişe türünden de en az birer tane bulunduğu için x \ge 1 ve y = n - x \ge 1 (yani x < n) olmalıdır:
- n \ge 10 için x \le 0 olur (elendi).
- n = 8 için x = 5(10 - 8) = 10 olur; fakat x < n şartından dolayı 10 < 8 çelişkisi doğar (y = 8 - 10 = -2 < 0, elendi).
- n = 9 için x = 5(10 - 9) = 5 olur. Bu durumda y = 9 - 5 = 4 olup tüm koşullar sağlanır.
CEVAP: B) 5 (İkinci kolideki 1 litrelik şişe sayısı x = 5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür kısıtlı tam sayı problemlerinde elde edilen denklemde x = 5(10 - n) ifadesi x’in mutlaka 5’in pozitif bir katı olması gerektiğini gösterir. Seçeneklerde 5’in katı olan tek değer 5 olduğundan doğrudan sonuca ulaşılabilir.
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Her kolide n adet şişe olsun. 2. kolideki 1 litrelik şişe sayısı x ise 0,5 litrelik şişe sayısı n - x olur.
Toplam su miktarı:
1,5n + [1 \cdot x + 0,5(n - x)] + 0,5n = 25
2,5n + 0,5x = 25
5n + x = 50 \implies x = 5(10 - n)
x değeri 5’in pozitif bir katı olmalıdır (1 \le x < n).
- n = 9 için: x = 5(10 - 9) = 5 adet bulunur.
Cevap: B) 5