Bir okul gezisine 100 'den fazla öğrenci katılmıştır. Öğrenciler 6 'şar ve 9 'ar kişilik gruplara ayrıldığında her seferinde 3 öğrenci dışarıda kalmaktadır.
Buna göre geziye en az kaç öğrenci katılmıştır?
EKOK Problemleri ve Kalanlı Bölme Uygulaması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir sayının farklı bölenlere bölündüğünde aynı kalanı vermesi durumunda, kalan miktar çıkarıldığında elde edilen sayı bu bölenlerin En Küçük Ortak Katı (EKOK) veya bu katın katları olmak zorundadır: A - k = \text{EKOK}(a, b) \cdot n.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ortak Katı (EKOK) Bulma
Geziye katılan öğrenci sayısı A olsun. Öğrenciler hem 6’şar hem de 9’ar gruplandığında 3 öğrenci arttığına göre, 3 eksik olsaydı öğrenci sayısı hem 6’ya hem de 9’a tam bölünecekti. Dolayısıyla A - 3 sayısı 6 ve 9’un ortak katıdır:
\text{EKOK}(6, 9) = 18
Buradan A - 3 = 18n (n pozitif bir tam sayı) ve A = 18n + 3 bağıntısı elde edilir.
Adım 2 — Koşula Uygun En Küçük Değeri Belirleme
Öğrenci sayısının 100’den fazla olduğu (A > 100) belirtilmiştir. Bu eşitsizliği sağlayan en küçük n tam sayısını bulalım:
18n + 3 > 100 \implies 18n > 97
18’in katlarını incelediğimizde:
- n = 5 için: 18 \times 5 = 90 (90 + 3 = 93 \le 100, koşulu sağlamaz)
- n = 6 için: 18 \times 6 = 108 (108 > 97, koşulu sağlar)
Buna göre geziye katılan en az öğrenci sayısı:
A = 108 + 3 = 111
CEVAP: 111 öğrenci (A = 18 \times 6 + 3 = 111)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür sorularda kalanı en başta ekleyip kat almak en sık yapılan hatadır. Önce EKOK’un katı 100’ü geçecek şekilde seçilmeli, kalan (+3) en son eklenmelidir.