Bir okçuluk yarışmasinda Ali, karşısındaki 8 hedefe atış yapmaktadır

YKS TYT
1

Bir okçuluk yarışmasinda Ali, karşısındaki 8 hedefe
atış yapmaktadır.
Buna göre Ali’nin bir atışta hedefi vurma olasılığı
Yapılan atışlarda yalnizca vurulan hedef sayisı
kaydedilmekte, iskalanan atıişlar için herhangi bir
kayıt tutulmamaktadır.
Yarışma sonunda görevli, Ali’nin tam 3 hedefi vurma
olasılıiğı ile tam 4 hedefi vurma olasılıiğının birbirine
eşit olduğunu fark etmiştir.
kaç olabilir?
B)
D)
E)

Bir okçuluk yarışmasinda Ali, karşısındaki 8 hedefe atış yapmaktadır.
Bir okçuluk yarışmasinda Ali, karşısındaki 8 hedefe atış yapmaktadır.800×600 35.7 KB

2

Bir Okçuluk Yarışmasında Hedefi Vurma Olasılığı Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:
n bağımsız denemede bir olayın k kez gerçekleşme olasılığı Binom Dağılımı ile hesaplanır:

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Burada:

  • n: Toplam atış (hedef) sayısı
  • k: Vurulan hedef sayısı
  • p: Bir atışta hedefi vurma olasılığı
  • 1-p: Bir atışta hedefi ıskalama olasılığı

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilenleri ve Değişkenleri Belirleme

  • Toplam hedef sayısı: n = 8
  • Bir atışta hedefi vurma olasılığına p diyelim.
  • Bir atışta hedefi vuramama (ıskalama) olasılığı 1-p olur.

Adım 2 — Tam 3 ve Tam 4 Hedefi Vurma Olasılıklarını Yazma

  • Tam 3 hedefi vurma olasılığı:

    P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot p^3 \cdot (1-p)^{8-3} = \binom{8}{3} \cdot p^3 \cdot (1-p)^5

  • Tam 4 hedefi vurma olasılığı:

    P(X = 4) = \binom{8}{4} \cdot p^4 \cdot (1-p)^{8-4} = \binom{8}{4} \cdot p^4 \cdot (1-p)^4

Adım 3 — Kombinasyon Değerlerini Hesaplama

  • \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
  • \binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70

Adım 4 — Olasılıkların Eşitliğini Kurma ve Sadeleştirme
Soruda P(X = 3) = P(X = 4) olduğu belirtilmiştir:

56 \cdot p^3 \cdot (1-p)^5 = 70 \cdot p^4 \cdot (1-p)^4

Her iki tarafı p^3 \cdot (1-p)^4 ifadesine bölelim:

56 \cdot (1-p) = 70 \cdot p

Adım 5 — Denklemi Çözme

56 - 56p = 70p
56 = 70p + 56p
56 = 126p
p = \frac{56}{126}

Kesri 14 ile sadeleştirelim:

p = \frac{56 \div 14}{126 \div 14} = \frac{4}{9}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) \frac{4}{9}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Binom Dağılımı (Bernoulli Denemeleri)

  • Tanım: Her denemenin sadece iki olası sonucunun (başarı/başarısızlık) olduğu ve olasılığın her denemede sabit kaldığı durumlar için geçerli olasılık modelidir.
  • Bu problemde: Ali’nin her bir atışı bağımsızdır ve her atışta vurma olasılığı p, vuramama olasılığı (1-p) olarak modellenmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kombinasyon Katsayısını Unutmak

  • Yanlış: Yalnızca p^3 \cdot (1-p)^5 = p^4 \cdot (1-p)^4 denklemini kurmak.
  • Doğru: Vurulan 3 veya 4 hedefin 8 hedef arasından hangi sıralamayla/seçimle geleceğini belirten \binom{8}{3} ve \binom{8}{4} katsayılarını mutlaka eklemek.
  • Neden yanlış: Farklı hedeflerin vurulma kombinasyonları hesaba katılmazsa doğru sonuca ulaşılamaz.

Bu soru tipini pekiştirmek için toplam atış sayısı veya eşitlik durumları farklı olan benzer bir soru çözmemi ister misin?

3

hayatımda ilk defa binomlu olasılık gördüm bu özelliği biliyordum müfredatta var mı ki

4

YKS ve MEB Müfredatında “Binom Olasılığı” (Tekrarlı Denemeler)

Binom olasılığı (Bernoulli denemeleri), MEB müfredatında ayrı bir istatistik başlığı olarak değil; 10. sınıf “Olasılık” ve “Kombinasyon” konularının birleşimi olan “Bağımsız Olayların Tekrarlanması” mantığıyla yer alır. YKS (TYT-AYT) sınavlarında bu mantıkla çözülen sorular doğrudan karşınıza çıkabilir.

Müfredattaki Konumu: İsimsel ve Mantıksal Ayrım

ÖSYM ve MEB kazanımlarında bu konunun işleniş biçimi iki temel prensibe dayanır:

  • İsimlendirme Farkı: Üniversite düzeyinde veya ileri istatistikte buna doğrudan “Binom Dağılımı” denir. Ancak lise müfredatında bu durum, “Kombinasyon yardımıyla bağımsız olayların olasılığını hesaplama” veya “Tekrarlı denemeler” adıyla öğretilir.
  • Müfredat Kazanımı: 10. sınıf Matematik kazanımlarında yer alan “Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı” ve “Kombinasyonun geometrik ve cebirsel uygulamaları” kazanımları bu sorunun teorik temelini oluşturur.

Bu Mantık Sınavda Nasıl Karşımıza Çıkar?

Soru bankaları ve ÖSYM; hedef vurma, para atma, zar atma veya penaltı atışı gibi bağımsız olayları art arda sorduğunda aynı formülü uygular:

  1. İstenen Durum Sayısı: Olayın kaç farklı sırada gerçekleşebileceğini belirlemek için kombinasyon kullanılır (Örneğin 8 atıştan 3’ünün vurulma sırası: \binom{8}{3}).
  2. Olayların Olasılığı: Her bir bağımsız atışın gerçekleşme olasılıkları çarpılır (p^3 \cdot (1-p)^5).
  3. Genel Çarpım: İki adım çarpılarak toplam olasılık elde edilir.

:light_bulb: İpucu: Bir soruda “Bir olay n kez tekrarlanıyor, başarı olasılığı sabit ve k tanesinin başarılı olma durumu isteniyor” ifadesi varsa, formülün adını hatırlamasanız bile \binom{n}{k} \cdot (\text{Başarı})^k \cdot (\text{Başarısızlık})^{n-k} mantığıyla saniyeler içinde sonuca ulaşabilirsiniz.

Özet Tablo

Kavram MEB / YKS Karşılığı Kullanım Alanı
Binom Olasılığı Tekrarlı bağımsız olay olasılığı Para, hedef, zar, penaltı soruları
Kombinasyon (\binom{n}{k}) Başarılı durumların seçilme sayısı Sıralama ve seçim durumları
Üslü İfadeler (p^k \cdot (1-p)^{n-k}) Gerçekleşme/gerçekleşmeme çarpımı Bağımsız olasılıkların çarpımı

Bu mantığın madeni para veya zar atma gibi klasik TYT/AYT soru tiplerine nasıl uyarlandığını gösteren kısa bir örnek incelemek ister misin?