Bir öğrenci, yüksek bir balkondan iki özdeş topu aynı anda atıyor. K’nin ilk hızı yukarı yönde 5 m/s 'dir, L’nin ilk hızı aşağı yönde 5 m/s 'dir. (Hava direnci önemsizdir. Aşağı yön negatif, yukarı yön pozitiftir. g = 10 m/s^2)
1.1. Yalnızca yer çekimi etkisinde hareket eden K ve L cisimlerinin verilen sürelerdeki hız değerlerini tablodaki ilgili yerlere yazınız.
| Zaman (s) | K’nin hızı (m/s) | L’nin hızı (m/s) |
|1--- | 1— |$ 1— |
| 0 | +5 | -5 |
| 0,2 |1.. | 1.. |
| 0,4 |1.. | 1.. |
| 0,6 |1.. | 1.. |
1.2. K topunun atıldıktan 5 s sonra yere ulaştığı bilindiğine göre L topu atıldıktan kaç s sonra yere ulaşır?
Düşey Doğrultuda Atış Hareketi ve Hız-Zaman Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Anlık hız denklemi: v(t) = v_0 - g \cdot t
- Konum / Yer değiştirme denklemi: \Delta y = v_0 \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2
(Yukarı yön +, aşağı yön -, yer çekimi ivmesi g = 10\text{ m/s}^2)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
1.1. Tablonun Doldurulması
Cisimlerin ivmesi a = -g = -10\text{ m/s}^2 olduğundan hızları her saniyede 10\text{ m/s} (her 0{,}2\text{ s}'de 2\text{ m/s}) azalacaktır.
-
t = 0{,}2\text{ s} anında:
v_K = +5 - 10 \cdot (0{,}2) = +3\text{ m/s}v_L = -5 - 10 \cdot (0{,}2) = -7\text{ m/s} -
t = 0{,}4\text{ s} anında:
v_K = +5 - 10 \cdot (0{,}4) = +1\text{ m/s}v_L = -5 - 10 \cdot (0{,}4) = -9\text{ m/s} -
t = 0{,}6\text{ s} anında:
v_K = +5 - 10 \cdot (0{,}6) = -1\text{ m/s}v_L = -5 - 10 \cdot (0{,}6) = -11\text{ m/s}
Doldurulmuş Tablo:
| Zaman (\text{s}) | K’nin hızı (\text{m/s}) | L’nin hızı (\text{m/s}) |
|---|---|---|
| 0 | +5 | -5 |
| 0{,}2 | +3 | -7 |
| 0{,}4 | +1 | -9 |
| 0{,}6 | -1 | -11 |
1.2. L Topunun Yere Ulaşma Süresi
Adım 1 — Balkonun Yerden Yüksekliğini Bulma
K topunun ilk hızı v_{0K} = +5\text{ m/s} ve yere ulaşma süresi t_K = 5\text{ s}'dir. Balkon seviyesi referans (y = 0) alındığında yere çarpma anındaki düşey yer değiştirme \Delta y = -h olur:
-h = v_{0K} \cdot t_K - \frac{1}{2}g \cdot t_K^2
-h = (5 \cdot 5) - \left(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5^2\right)
-h = 25 - 125 = -100\text{ m} \implies h = 100\text{ m}
Adım 2 — L Topunun Uçuş Süresini Hesaplama
L topu aynı yükseklikten (h = 100\text{ m}) aşağı doğru v_{0L} = -5\text{ m/s} hızla atılmıştır:
\Delta y = v_{0L} \cdot t_L - \frac{1}{2}g \cdot t_L^2
-100 = -5 \cdot t_L - 5 \cdot t_L^2
Eşitliğin her iki tarafını -5’e bölüp düzenleyelim:
t_L^2 + t_L - 20 = 0
(t_L + 5)(t_L - 4) = 0
Zaman pozitif bir büyüklük olduğundan:
t_L = 4\text{ s}
(Alternatif Pratik Yol: K cismi yukarı doğru 5\text{ m/s} ile atıldığında 0{,}5\text{ s}'de tepe noktasına çıkar ve 0{,}5\text{ s}'de tekrar atıldığı balkon hizasına gelip aşağı yönlü -5\text{ m/s} hıza ulaşır. Yani balkon hizasına dönmesi tam 1\text{ s} sürer. Bu andan itibaren hareketi L cismi ile tamamen özdeştir. Toplam süre 5\text{ s} olduğuna göre, balkon hizasından yere inişi 5 - 1 = 4\text{ s} sürer. Dolayısıyla L topu da doğrudan 4\text{ s}'de yere varır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- 1.1. Tablodaki hız değerleri sırasıyla;
- K için: +3\text{ m/s}, +1\text{ m/s}, -1\text{ m/s}
- L için: -7\text{ m/s}, -9\text{ m/s}, -11\text{ m/s}
- 1.2. L topu atıldıktan 4\text{ s} sonra yere ulaşır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Düşey Atışta Simetri: Yukarı doğru atılan bir cisim, atıldığı seviyeden tekrar geçerken atılış hızıyla aynı büyüklükte fakat zıt yönde bir hıza sahip olur. Çıkış süresi iniş süresine eşittir.
- İvme Sabiti: Yalnızca yer çekimi etkisindeki cisimlerin kütlesi ne olursa olsun hızları saniyede g = 10\text{ m/s}^2 kadar değişir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Hız formüllerinde yön işaretlerini (vektörel niteliği) dikkate almayıp yer çekimi ivmesini her iki cisim için de rastgele toplamak veya çıkarmak.- Doğru Yaklaşım: Koordinat sistemi seçilip yönler belirlenmeli (yukarı +, aşağı -), hız ve ivme vektörleri bu işaretlere göre formüllere yerleştirilmelidir.
Bu sorudaki cisimlerin yere çarpma hızlarını enerji korunumunu kullanarak da hesaplamak ister misin?