Bir öğrenci; sarı, mavi ve pembe renkli daire biçimindeki kartonları, merkezleri çakışık olmak üzere üst üste yapıştıracaktır.
Yapıştırma işlemi tamamlandıktan sonra alanı en küçük olan karton en üstte, alanı en büyük olan karton da en altta olacaktır.
Sarı, mavi ve pembe dairelerin alanları sırasıyla 16^{12}, 81^{9} ve 125^{8} birimkare olduğuna göre öğrenci aşağıdaki görünümlerden hangisini elde edebilir?
A) B)
C) D)
E)
Üslü Sayılarda Sıralama ve Geometrik Yerleşim
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Üsleri farklı verilen üslü ifadeleri karşılaştırmak için üslerin en büyük ortak böleni (\text{EBOB}) bulunarak üsler eşitlenir (a^{m \cdot k} = (a^m)^k). Tabanı büyük olan üslü ifade daha büyüktür.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Dairelerin Alanlarını Taban-Üs Dönüşümüyle Yazma
Verilen daire alanlarının tabanlarını asal çarpanlarına ayıralım:
- Sarı dairenin alanı (S):S = 16^{12} = (2^4)^{12} = 2^{48}
- Mavi dairenin alanı (M):M = 81^{9} = (3^4)^{9} = 3^{36}
- Pembe dairenin alanı (P):P = 125^{8} = (5^3)^{8} = 5^{24}
Adım 2 — Üsleri Eşitleyerek Alanları Sıralama
Üsler olan 48, 36 ve 24 sayılarının en büyük ortak böleni \text{EBOB}(48, 36, 24) = 12’dir. Her bir sayıyı üssü 12 olacak biçimde düzenleyelim:
- S = 2^{48} = (2^4)^{12} = 16^{12}
- P = 5^{24} = (5^2)^{12} = 25^{12}
- M = 3^{36} = (3^3)^{12} = 27^{12}
Tabanlar karşılaştırıldığında (16 < 25 < 27):
S < P < M
elde edilir.
Adım 3 — Katmanların Üst Üste Görünümünü Belirleme
- En altta: Alanı en büyük olan Mavi karton yer alır (en dıştaki halka).
- Ortada: Alanı ortanca olan Pembe karton yer alır (ara halka).
- En üstte: Alanı en küçük olan Sarı karton yer alır (en içteki merkez daire).
Bu dizilim dıştan içe doğru sırasıyla Mavi - Pembe - Sarı şeklinde görünür.
CEVAP: D) Seçeneği (Dıştan içe: Mavi, Pembe, Sarı)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Tabanları eşitlenemeyen üslü sayı sorularında kuvvetlerin \text{EBOB}'u alınarak üsler eşitlenir. Böylece yalnızca parantez içindeki taban değerlerini kıyaslamak sıralama için yeterli olur.