ÖRNEK 15:
ÖSYM
Bir müzede sergilenen bir tablonun asılı olduğu bir duvara A ve B lazer cihazları yerleştirilmiştir. Bu cihazlardan her biri, birinci ışınını duvar yüzeyi boyunca, yere dik ve yukarı yönde göndermekte, sonraki her seferde o cihaza özel sabit bir açı kadar dönüp duvar yüzeyi boyunca bir sonraki ışınını göndermektedir.
Aşağıdaki şekildeki gibi A cihazı saat yönünde, B cihazı ise saat yönünün tersi yönde hareket ederek her bir cihaz toplam 180^{irc} döndükten sonra son ışınını göndermiş ve durmuştur.
A cihazından çıkan 8. ışınla B cihazından çıkan 5. ışın birbirine dik olmuştur.
A) 9
B) 11
C) 13
D) 16
E) 19
Lazer Işınlarının Dönme Açısı ve Işın Sayısı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Birbirine paralel aynı yönlü iki doğrunun zıt yönlerde \theta_1 ve \theta_2 kadar döndürülmesiyle doğrultuları arasındaki açı \theta_1 + \theta_2 olur.
- İki doğrunun birbirine dik olması durumu için:\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ \quad \text{veya} \quad \theta_1 + \theta_2 = 270^\circ
- Eşit açılarla k kez dönen bir cihazın gönderdiği toplam ışın sayısı:\text{Toplam Işın Sayısı} = \frac{\text{Toplam Dönme Açısı}}{\text{Sabit Dönme Açısı}} + 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dönme Açılarını Değişken Olarak Tanımlama
A cihazının her seferindeki dönme açısına \alpha, B cihazının her seferindeki dönme açısına \beta diyelim.
Her iki cihaz da ilk (1.) ışınlarını düşey yukarı yönde gönderdiğinden başlangıçta yönleri birbirine paraleldir (0^\circ).
- A cihazı saat yönünde döndüğü için n. ışının düşeyle yaptığı açı: (n - 1) \cdot \alpha
- B cihazı saat yönünün tersine döndüğü için m. ışının düşeyle yaptığı açı: (m - 1) \cdot \beta
Adım 2 — Birinci Diklik Durumunu Denklemleştirme
A cihazından çıkan 2. ışın ile B cihazından çıkan 3. ışın birbirine diktir. Bu durum ışınların birbirine ilk kez dik olduğu andır:
-
- ışın için dönme açısı: (2 - 1)\alpha = \alpha
-
- ışın için dönme açısı: (3 - 1)\beta = 2\beta
\alpha + 2\beta = 90^\circ \quad \text{(1. Denklem)}
Adım 3 — İkinci Diklik Durumunu Denklemleştirme
A cihazından çıkan 8. ışın ile B cihazından çıkan 5. ışın birbirine diktir. Açıların büyüdüğü bu aşamada kollar genişleyip ikinci kez dik duruma gelmiştir:
-
- ışın için dönme açısı: (8 - 1)\alpha = 7\alpha
-
- ışın için dönme açısı: (5 - 1)\beta = 4\beta
7\alpha + 4\beta = 270^\circ \quad \text{(2. Denklem)}
Adım 4 — Denklem Sistemini Çözerek \alpha Açısını Bulma
Birinci denklemi 2 ile çarpıp ikinci denklemden çıkaralım:
2 \cdot (\alpha + 2\beta) = 2 \cdot 90^\circ \implies 2\alpha + 4\beta = 180^\circ
(7\alpha + 4\beta) - (2\alpha + 4\beta) = 270^\circ - 180^\circ
5\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 18^\circ
Adım 5 — A Cihazından Çıkan Toplam Işın Sayısını Hesaplama
A cihazı toplam 180^\circ döndükten sonra durmuştur.
- Yapılan toplam dönme sayısı:
\frac{180^\circ}{18^\circ} = 10 \text{ dönme}
- Cihaz ilk ışınını hiç dönmeden (0^\circ anında) attığı için toplam ışın sayısı dönme sayısının 1 fazlasıdır:
\text{Toplam Işın Sayısı} = 10 + 1 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aritmetik Dizi Mantığı: Sabit bir açıyla art arda dönen ışınların açıları aritmetik bir dizi oluşturur (a_n = (n-1)\cdot d).
- Aralık-Nokta İlişkisi (Direk-Aralık Problemi): n tane aralık (dönme) varsa, başlangıç ve bitiş dahil toplam n + 1 tane terim (ışın) bulunur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 8. ve 5. ışınlar arasındaki açıyı da 90^\circ alarak 7\alpha + 4\beta = 90^\circ denklemini kurmak (açılar pozitif olacağından sistem tutarsız olur).- Doğru Yaklaşım: Işınlar birbirinden uzaklaşarak döndüğü için ikinci diklik açısının 270^\circ olduğunu fark etmek.
- Hatalı Yaklaşım: 180^\circ / 18^\circ = 10 bulup cevabı doğrudan 10 işaretlemek. Başlangıçtaki 1. ışını unutmamak gerekir.
Aynı kurallarla B cihazından çıkan toplam ışın sayısını da hesaplamak ister misin?