Bir müzede sergilenen bir tablonun asılı olduğu bir duvara A ve B lazer cihazları yerleştirilmiştir. Bu cihazlardan her biri; birinci ışınını duvar yüzeyi boyunca, yere dik ve yukarı yönde göndermekte, sonraki her seferde o cihaza özel sabit bir açı kadar dönüp duvar yüzeyi boyunca bir sonraki ışınını göndermektedir.
Aşağıdaki şekildeki gibi A cihazı saat yönünde, B cihazı ise saat yönünün tersi yönde hareket ederek her bir cihaz toplam 180^irc döndükten sonra son ışınını göndermiş ve durmuştur.
A cihazından çıkan 2. ışınla B cihazından çıkan 3. ışın birbirine dik; A cihazından çıkan 8. ışınla B cihazından çıkan 5. ışın birbirine dik olmuştur.
A) 9
B) 11
C) 13
D) 16
E) 19
Doğruda Açı ve Açısal Dönme Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Düşey doğrultudan (yukarı yön) saat yönünde \theta_A ve saat yönünün tersine \theta_B kadar sapan iki ışının doğrultuları arasındaki açı \theta_A + \theta_B olur. İki doğru birbirine dik ise aralarındaki açı 90^\circ veya 270^\circ olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Değişkenlerin Tanımlanması
A cihazının her adımdaki sabit dönme açısına \alpha, B cihazının her adımdaki sabit dönme açısına \beta diyelim. Her iki cihaz da ilk (1.) ışınlarını yukarı doğru düşey doğrultuda göndermektedir.
- n. ışın için yapılan dönme açısı: (n - 1)\alpha (saat yönünde)
- m. ışın için yapılan dönme açısı: (m - 1)\beta (saat yönünün tersi yönde)
Adım 2 — Birinci Diklik Koşulunun Uygulanması
A’nın 2. ışını \alpha kadar, B’nin 3. ışını 2\beta kadar dönmüştür. Bu iki ışın birbirine doğru yönelip dik kesiştiklerinden aralarındaki açıların toplamı 90^\circ olur:
\alpha + 2\beta = 90^\circ
Adım 3 — İkinci Diklik Koşulunun Uygulanması
A’nın 8. ışını 7\alpha kadar, B’nin 5. ışını 4\beta kadar dönmüştür. Bu ışınlar aşağı bölgeye geçtiğinden doğrultuları arasındaki açı 270^\circ olmalıdır:
7\alpha + 4\beta = 270^\circ
Adım 4 — Denklem Sisteminin Çözümü
İlk denklemi 2 ile çarpıp ikinci denklemden çıkaralım:
2(\alpha + 2\beta) = 2\alpha + 4\beta = 180^\circ
(7\alpha + 4\beta) - (2\alpha + 4\beta) = 270^\circ - 180^\circ
5\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 18^\circ
Adım 5 — Toplam Işın Sayısının Hesaplanması
A cihazı toplam 180^\circ dönüp son ışınını gönderdiğine göre adım sayısı:
\text{Adım Sayısı} = \frac{180^\circ}{\alpha} = \frac{180^\circ}{18^\circ} = 10
İlk ışın 0^\circ dönmede gönderildiği için toplam ışın sayısı:
\text{Toplam Işın} = 10 + 1 = 11
CEVAP: B) 11
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
İlk ışın 0^\circ anında atıldığından, toplam ışın sayısı her zaman “dönme adımı sayısı + 1” formülüyle bulunur. Doğrultular geniş açıyla kesiştiğinde diklik şartının 90^\circ yerine 270^\circ (180^\circ + 90^\circ) olabileceği gözden kaçırılmamalıdır.