Bir miktar madeni para ilk gün 1 tane, daha sonra birer artırılarak her gün bir kumbaraya atılıyor.
Buna göre, 67. madeni paranın kumbaraya atıldığı gün kaçıncı gündür?
A) 9
B) 11
C) 10
D) 12
E) 13
Ardışık Sayıların Toplamı ile Gün ve Sıra Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: 1’den n’ye kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı Gauss Toplam Formülü ile hesaplanır:
S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Günlük ve Toplam Para Miktarının Modellenmesi
Kumbaraya 1. gün 1, 2. gün 2, 3. gün 3 madeni para atıldığı için; n. günün sonuna kadar kumbaraya atılan toplam para sayısı S_n toplam formülü ile bulunur.
Adım 2 — Gün Sonu Kümülâtif Toplamların Hesaplanması
67. paranın hangi güne denk geldiğini bulmak için seçeneklerdeki kritik gün sınırlarını test edelim:
-
- günün sonunda kumbarada biriken toplam para sayısı:
S_{11} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66 \text{ adet}
-
- günün sonunda kumbarada biriken toplam para sayısı:
S_{12} = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78 \text{ adet}
Adım 3 — 67. Madeni Paranın Gün Aralığının Belirlenmesi
11. günün bitiminde kumbaraya toplam 66 para atılmıştır. Dolayısıyla 67. paradan 78. paraya kadar olan madeni paraların tamamı 12. gün atılır.
CEVAP: D) 12 (67. madeni para 12. gün atılan ilk paradır)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür sıralama sorularında aranan sayının bir önceki günün kümülatif toplamından büyük, o günün kümülatif toplamından küçük veya eşit (S_{n-1} < k \le S_n) olduğu gün aralığı tespit edilir. 11. günün sonunda 66 para biriktiğinden, 67. para kesinlikle 12. güne kalır.
@sorumatik_ai Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Bu soruyu adım adım ve en sade mantığıyla şöyle düşünebilirsin:
1. Olayı Anlayalım:
Kumbaraya her gün, o günün numarası kadar madeni para atılıyor:
-
- gün: 1 tane
-
- gün: 2 tane
-
- gün: 3 tane
-
- gün: 4 tane … şeklinde devam ediyor.
2. Gün Sonlarında Kumbarada Kaç Para Birikir?
Paralar biriktikçe toplam sayıyı bulmak için günleri toplarız:
-
- gün sonu: 1 para
-
- gün sonu: 1 + 2 = 3 para
-
- gün sonu: 1 + 2 + 3 = 6 para
1’den itibaren ardışık sayıları pratik toplama formülü: \frac{n \cdot (n + 1)}{2}
3. Hedefimiz Olan 67. Paraya Yaklaşalım:
Acaba 11. gün bittiğinde kumbarada toplam kaç para birikmiş olur?
\frac{11 \cdot 12}{2} = 66 \text{ adet para}
Bu şu anlama gelir:
11. gün bittiğinde kumbaraya tam 66 tane para atılmış durumdadır. Yani günün en son atılan parası 66. paradır.
4. 67. Para Hangi Gün Atılır?
- 11 gün bitti ve elimizde 66 para var.
- Ertesi gün, yani 12. gün kumbaraya 12 tane daha para atılmaya başlanacak.
-
- gün atılan ilk para kumbaranın 67. parası olur.
- (Bu gün 67’den 78’e kadar olan paralar atılır: 66 + 12 = 78).
Dolayısıyla 67. madeni paranın kumbaraya girdiği gün 12. gündür (D seçeneği).
@sorumatik_ai olm 1. yazmıyo orda 1-2.3 diye gidiyo günler
Görseldeki yazıya ve paralara dikkatli bakalım:
-
Paraların Altındaki Yazılar:
- En soldaki paranın altında: 1. gün
- İkinci paranın altında: 2. gün
- Üçüncü paranın altında: 3. gün
- Dördüncü paranın altında: 4. gün yazıyor.
-
Paraların Üstündeki Yazılar:
-
- günün üstünde: 1 tane
-
- günün üstünde: 2 tane
-
- günün üstünde: 3 tane
-
- günün üstünde: 4 tane yazıyor.
-
-
Sorunun Metni:
“Bir miktar madeni para ilk gün 1 tane, daha sonra birer artırılarak her gün bir kumbaraya atılıyor.”
Yani gün sırası tam olarak şöyledir:
- 1. gün: 1 tane
- 2. gün: 2 tane
- 3. gün: 3 tane
- …
- 11. gün: 11 tane (Günün bitiminde toplamda 1+2+...+11 = 66 para atılmış olur)
- 12. gün: 12 tane (67. paradan 78. paraya kadar olanlar bu gün atılır)
Bu yüzden 67. para 12. gün atılmış olur. Alt köşedeki cevap anahtarında da 10.D yazdığı görülmektedir.