Bir miktar kalem, bir grup öğrenciye paylaştırılacaktır. Bu kalemlerden 8 tane fazla veya 9 tane eksik olsaydı kalemler hiç artmadan öğrencilere paylaştırılabilecekti.
Kalemlerin sayısının 140 tan fazla olduğu bilindiğine göre, kalem sayısı en az kaç olabilir?
A) 142 B) 145 C) 153 D) 170 E) 175
Bir Miktar Kalemin Öğrencilere Paylaştırılması Problemi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bölünebilme Kuralı: Bir K sayısı n sayısına tam bölünüyorsa K = k \cdot n (k \in \mathbb{Z}^+) şeklinde yazılır.
- İki ifadenin aynı böleni (n) varsa, bu ifadelerin farkı da n sayısının bir tam katı olmak zorundadır:
(K + a) - (K - b) = c \cdot n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Öğrenci Sayısı ile Kalem Sayısı Arasındaki İlişkiyi Denklem Olarak Yazma
Toplam kalem sayısına K, gruptaki öğrenci sayısına n diyelim:
- Kalemler 8 tane fazla olsaydı tam paylaştırılacaktı: K + 8 = x \cdot n
- Kalemler 9 tane eksik olsaydı tam paylaştırılacaktı: K - 9 = y \cdot n
Adım 2 — Öğrenci Sayısını (n) Bulma
Bu iki denklemin farkını alarak K değişkenini yok edelim:
(K + 8) - (K - 9) = x \cdot n - y \cdot n
8 - (-9) = (x - y) \cdot n
17 = (x - y) \cdot n
17 bir asal sayıdır. Bir grup öğrenci olduğundan ve paylaştırma durumundan dolayı bölen sayısı n = 17 olmalıdır.
Adım 3 — Kalem Sayısı (K) İçin Genel Bağıntıyı Kurma
Öğrenci sayısı n = 17 olduğuna göre:
K + 8 = 17 \cdot x
K = 17 \cdot x - 8
Adım 4 — K > 140 Şartını Sağlayan En Küçük Değeri Hesaplama
K sayısının 140’tan büyük en küçük değerini bulmak için x yerine pozitif tam sayılar verelim:
- x = 8 için: K = 17 \cdot 8 - 8 = 136 - 8 = 128 (140’tan küçük olduğu için sağlamaz)
- x = 9 için: K = 17 \cdot 9 - 8 = 153 - 8 = 145 (140’tan büyüktür)
Adım 5 — Sağlama
- K = 145 için 8 fazla olsaydı: 145 + 8 = 153 \rightarrow 153 / 17 = 9 (Tam bölünür)
- K = 145 için 9 eksik olsaydı: 145 - 9 = 136 \rightarrow 136 / 17 = 8 (Tam bölünür)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (145)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kat ve Bölünebilme İlişkisi
- Tanım: Bir sayı iki farklı duruma göre aynı bölenin katı oluyorsa, bu iki durum arasındaki fark da o bölenin tam katı olmak zorundadır.
- Bu problemde: (K + 8) ile (K - 9) arasındaki fark 17 olduğu için öğrenci sayısının 17 olduğu tespit edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Fazlalık ve Eksikliği Toplamak Yerine Çıkarmak
- Yanlış: İki durum arasındaki farkı 9 - 8 = 1 alarak işlem yapmak.
- Doğru: Biri fazlalık (+8), diğeri eksiklik (-9) olduğu için aralarındaki toplam fark 8 - (-9) = 17’dir.
- Neden yanlış: Sayı doğrusunda +8 ile -9 noktaları arasındaki uzaklık 1 değil, 17 birimdir.
Bu tip bölme-bölünebilme ve EBOB-EKOK temelli problemlere dair benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?