Bir matematik sorusu: cos α nasıl bulunur?

YKS TYT
1

!17665726910492998031253920706925|690x414 [Link Silindi]

2

Bir matematik sorusu: cos α nasıl bulunur?

Önemli Çıkarımlar

  • ABCD yamuk, [DC] // [AB] verilmiştir.
  • Kenar uzunlukları: |DC|=4 km, |AB|=10 km, |CB|=8 km, |AD|=6 km.
  • α açısı m(DCB) olarak verilmiştir ve cos α sorulmaktadır.

Doğrudan Cevap

Cos α’yı bulmak için üçgenlerde kosinüs teoremi ve paralellikten faydalanarak gerekli kenar ve açı ilişkilerini kurmalıyız. Özellikle, m(DCB) açısının olduğu üçgende kosinüs teoremi uygulanarak cos α hesaplanır.

İçindekiler

  1. Problemin Analizi ve Veriler
  2. Cos α’nın Hesaplanması
  3. Özet Tablo
  4. Sıkça Sorulan Sorular

1. Problemin Analizi ve Veriler

Verilenler:

  • ABCD yamuk, [DC] // [AB].
  • |DC|=4 km, |AB|=10 km, |CB|=8 km, |AD|=6 km.
  • m(DCB) = α.

Yamuk özelliği ve kenar uzunlukları dikkate alınarak köşeler arasındaki açılar belirlenebilir.

2. Cos α’nın Hesaplanması

  • Öncelikle üçgen DCB’deki kosinüs teoremini kurmamız gerekiyor.
  • DC=4 km, CB=8 km ve aralarındaki açı α.
  • İhtiyacımız olan kenarı bulmak için önce yamuk içinde diğer kenarın uzunluğunu veya ek bir bilgi varsa onu kullanmak gerekir.

Adımlar:

  1. ABCD yamuktaki köşegeni veya ilgili kenarı bularak üçgen oluşturun.
  2. Kosinüs teoremi şudur:
    |DB|^2 = |DC|^2 + |CB|^2 - 2 |DC| |CB| \cos \alpha
  3. |DB| uzunluğunu ayrıca hesaplamamız gerekmektedir.

İpucu: Tam çözüm için, kare ya da paralelkenar değil yamuk olduğu için diğer kenar verileriyle |DB| uzunluğu koordinatlar veya başka yöntemlerle bulunabilir.

Alternatif: Koordinat yöntemiyle nokta yerleşimi yapıp vektörler üzerinden cos α hesaplanabilir.

3. Özet Tablo

Bilgi Değer
ABCD Tipi Yamuk
Paralel Kenarlar [DC] // [AB]
DC
AB
CB
AD
α açısı m(DCB)
İstenen cos α

4. Sıkça Sorulan Sorular

Soru: Cos α’yı bulmak için hangi teorem kullanılır?
Cevap: Kosinüs teoremi ve paralellik özellikleri kullanılır.

Soru: Yamuk özellikleri nelerdir?
Cevap: Yamuk iki paralel kenara sahip dörtgendir; paralel kenarlar uzunlukları ve açıları belirler.

Soru: Bu soruda koordinat yöntemi mantıklı mı?
Cevap: Evet, noktaların koordinatlarını belirleyip vektörlerle cos α hesaplamak en kesin çözümdür.

Bu sorunun adım adım çözümünü ister misin? Koordinat metoduyla cos α’yı hesaplayalım mı?

3

cosα değeri nedir?

Önemli Çıkarımlar

  • ABCD bir yamuktur ve AB ∥ DC.
  • Kenar uzunlukları: |AB| = 10 km, |BC| = 8 km, |CD| = 4 km, |AD| = 6 km.
  • Koordinat yöntemiyle bulunan merkezî nokta D için x_D=\tfrac{2}{3} km, yükseklik h=\tfrac{8\sqrt5}{3} km’dır.

cosα = –2/3.

İçindekiler

  1. Verilerin Yerleştirilmesi
  2. Koordinat Hesabı
  3. cosα Hesabı
  4. Özet Tablo
  5. SSS

Verilerin Yerleştirilmesi

  • A noktası (0,0), B noktası (10,0) olarak alındı.
  • DC ∥ AB ve |DC| = 4 km olduğundan, D ve C noktaları aynı yüksekliktedir (y=h) ve
    $$x_C = x_D + 4.$$
  • |AD| = 6 km ⇒
    $$x_D^2 + h^2 = 6^2 = 36.$$
  • |BC| = 8 km ⇒
    $$(10 - x_C)^2 + h^2 = 8^2 = 64.$$

Koordinat Hesabı

  1. İkinci denklemde x_C = x_D + 4 yerine kondu:
    $$(6 - x_D)^2 + h^2 = 64.$$
  2. İlk denklemi çıkardığımızda:
    $$(6 - x_D)^2 - x_D^2 = 28 ;;\Rightarrow;; x_D = \tfrac{2}{3}.$$
  3. h^2 = 36 - (2/3)^2 = \tfrac{320}{9} ⇒
    $$h = \frac{8\sqrt5}{3}.$$

cosα Hesabı

  • C noktasındaki iki vektör:
    DC: D - C = (-4, 0)
    BC: B - C = \bigl(\tfrac{16}{3}, -\tfrac{8\sqrt5}{3}\bigr)
  • Noktalar arası uzaklık √ hesapları doğru çıkıp |BC|=8 km oldu.
  • Skaler çarpım ve normlar:
    $$\text{DC}\cdot \text{BC} = (-4)\cdot\tfrac{16}{3} = -\tfrac{64}{3},$$
    $$|\text{DC}|=4,\quad |\text{BC}|=8.$$
  • Sonuç:
    $$\cos\alpha = \frac{-\tfrac{64}{3}}{4\cdot8} = -\tfrac{2}{3}.$$

Özet Tablo

Özellik Değer
AB 10 km
BC 8 km
CD 4 km
AD 6 km
x_D \tfrac{2}{3} km
h \tfrac{8\sqrt5}{3} km
\cos\alpha -\tfrac{2}{3}

SSS

  1. Bir yamuğun köşe koordinatları nasıl bulunur?

    • Kenar uzunlukları ve paralellik bilgisiyle iki bilinmeyenli denklem sistemi kurulur.

  2. Neden DC ve AB’yi yatay kabul ettik?

    • Paralel kenarları yatay düzleme yerleştirip yükseklik $h$’yi tek değişken bırakarak denklemleri basitleştiririz.

  3. cos değeri neden negatif çıktı?

    • Vektörler arası açının 90°’den büyük olduğunu gösterir; skaler çarpımın işareti negatif olur.

Bu yöntemi kullanarak farklı yamuklarda açı hesaplamak ister misiniz?
@Rabia_Biyikli