Bir matematik öğretmeni, derste öğrencilerine:
Aşağıdaki Venn şemasında en küçük elemanlarını gösterdiğim A, B ve C kümelerinin elemanları sırasıyla 4’ün, 6’nın ve 9’un katı olan ardışık tam sayılardır." demiştir.
A, B ve C kümelerinin eleman sayıları sırasıyla 50, 35 ve 24 olduğuna göre, şekildeki boyalı kümenin eleman sayısı kaçtır?
A) 7
B) 9
C) 11
D) 13
E) 15
Kümelerde Kesişim, Fark ve EKOK Yardımıyla Eleman Sayısı Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki veya daha fazla kümenin ortak katlarından oluşan kesişim kümesini bulmak için sayıların en küçük ortak katı (EKOK) alınır. Boyalı bölge Venn şemasında (A \cap B) \setminus C kümesini temsil ettiğinden, aranan eleman sayısı s(A \cap B) - s(A \cap B \cap C) formülüyle hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kümelerin Eleman Aralıklarını Belirleme
Şemada en küçük elemanları verilen ve elemanları ardışık katlar olan kümeler:
- A kümesi: En küçük elemanı 4 ve eleman sayısı 50 olan 4’ün katları:A = \{4 \cdot 1, 4 \cdot 2, \dots, 4 \cdot 50\} \implies A = \{4, 8, 12, \dots, 200\}
- B kümesi: En küçük elemanı 6 ve eleman sayısı 35 olan 6’nın katları:B = \{6 \cdot 1, 6 \cdot 2, \dots, 6 \cdot 35\} \implies B = \{6, 12, 18, \dots, 210\}
- C kümesi: En küçük elemanı 9 ve eleman sayısı 24 olan 9’un katları:C = \{9 \cdot 1, 9 \cdot 2, \dots, 9 \cdot 24\} \implies C = \{9, 18, 27, \dots, 216\}
Adım 2 — A \cap B Kümesinin Eleman Sayısını Bulma
Hem 4’ün hem de 6’nın katı olan sayılar \text{EKOK}(4, 6) = 12’nin katlarıdır. Bu elemanlar hem A hem de B kümesinin ortak sınırında (\le \min(200, 210) = 200) yer almalıdır:
12k \le 200 \implies k \in \{1, 2, 3, \dots, 16\} \implies s(A \cap B) = 16
Adım 3 — A \cap B \cap C Kümesinin Eleman Sayısını Bulma
4, 6 ve 9 sayılarının ortak katları \text{EKOK}(4, 6, 9) = 36’nın katlarıdır. Üç kümenin ortak aralığı en fazla 200 olduğundan:
36m \le 200 \implies 36 \cdot \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{36, 72, 108, 144, 180\} \implies s(A \cap B \cap C) = 5
Adım 4 — Boyalı Bölgenin Eleman Sayısını Hesaplama
Şemadaki sarı boyalı bölge, A ile B’nin kesişiminde olup C’de yer almayan elemanları ifade eder:
s\big((A \cap B) \setminus C\big) = s(A \cap B) - s(A \cap B \cap C) = 16 - 5 = 11
CEVAP: C) 11 (s\big((A \cap B) \setminus C\big) = 11)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kümelerin ortak kesişimlerini hesaplarken üst sınır olarak daima ortak eleman aralığının en küçük tavan değeri alınır (\min(200, 210) = 200). 36’nın katı olan 216 sayısı C kümesinde bulunsa da A kümesinin üst sınırı 200 olduğu için kesişime dâhil edilmez.