Bir manavda her birinin ağırlığı kendi içinde eşit olan elmalar ve portakallar bulunmaktadır. Bir elmanın ağırlığı, bir portakalın ağırlığından 40 gram fazladır. Bu manavdaki elmaların tamamı ve portakalların bir kısmı 5 farklı poşete; her poşette eşit sayıda portakal olacak ve poşetlerdeki elma sayıları ardışık doğal sayılar oluşturacak biçimde dağıtılıyor. Ayrıca bu dağıtımda
• en az elma bulunan poşetteki elma sayısı, o poşetteki portakal sayısına eşit
• poşetlenen portakalların sayısı, poşetlenemeyen portakalların sayısının %25’idir.
Poşetlenmeyen portakalların toplam ağırlığı, poşetlenen tüm meyvelerin toplam ağırlığından 4,8 kilogram fazla olduğuna göre bir elmanın ağırlığı kaç gramdır?
A) 180 B) 185 C) 190 D) 195 E) 200
Manavdaki Meyvelerin Ağırlığı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \text{Toplam Ağırlık} = \text{Adet} \times \text{Birim Ağırlık}
- 1\text{ kg} = 1000\text{ g}
- Yüzde hesabı: A = B \cdot \frac{\%x}{100}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama ve Meyve Sayılarını Belirleme
- Bir portakalın ağırlığına P\text{ gram} dersek, bir elmanın ağırlığı E = P + 40\text{ gram} olur.
- 5 poşetin her birinde eşit sayıda portakal bulunduğundan, her poşette x adet portakal olsun.
- Toplam poşetlenen portakal sayısı:5 \cdot x = 5x
- En az elma bulunan poşetteki elma sayısı o poşetteki portakal sayısına (x) eşit ve elma sayıları ardışık doğal sayılar olduğundan, poşetlerdeki elma sayıları sırasıyla:x, \quad x + 1, \quad x + 2, \quad x + 3, \quad x + 4
- Tüm elmalar poşetlendiği için toplam elma sayısı:x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 5x + 10
Adım 2 — Poşetlenmeyen Portakal Sayısını Bulma
- Poşetlenen portakalların sayısı (5x), poşetlenmeyen portakalların sayısının \%25’i (\frac{1}{4}'i) kadardır.
- Poşetlenmeyen portakal sayısı K olsun:5x = K \cdot \frac{25}{100} = \frac{K}{4} \implies K = 20x
Adım 3 — Ağırlık Bağıntısını ve Denklemi Kurma
- 4{,}8\text{ kg} = 4800\text{ gram}'dır.
- Poşetlenmeyen portakalların toplam ağırlığı:\text{Ağırlık}_{\text{dış}} = 20x \cdot P
- Poşetlenen meyvelerin toplam ağırlığı:\text{Ağırlık}_{\text{iç}} = 5x \cdot P + (5x + 10) \cdot E
- Verilen fark denklemini yazalım:20x \cdot P - [5x \cdot P + (5x + 10) \cdot (P + 40)] = 480015x \cdot P - (5x \cdot P + 200x + 10P + 400) = 480010x \cdot P - 200x - 10P - 400 = 480010x \cdot P - 200x - 10P = 5200
Her terimi 10’a bölelim:
x \cdot P - 20x - P = 520
İfadeyi çarpanlarına ayırmak için her iki tarafa 20 ekleyelim:
x(P - 20) - 1(P - 20) = 540
(x - 1)(P - 20) = 540
Adım 4 — Bir Elmanın Ağırlığını (E) Hesaplama
- E = P + 40 \implies P = E - 40 olduğunu biliyoruz.
- Bu değeri denklemde yerine yazarsak:P - 20 = (E - 40) - 20 = E - 60(x - 1)(E - 60) = 540
- x bir poşetteki portakal adedi olup bir pozitif tam sayıdır. Dolayısıyla (E - 60) sayısı 540’ı tam bölmelidir:
- E = 195 için:E - 60 = 195 - 60 = 135x - 1 = \frac{540}{135} = 4 \implies x = 5\text{ (pozitif tam sayı)}
- E = 195 için:
Bu durumda bir elmanın ağırlığı 195\text{ gram} olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 195
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ardışık Sayılar Toplamı: Ardışık terimlerin toplamı cebirsel ifadelerle modellenerek toplam adet bulunur.
- Çarpanlara Ayırma (Gruplandırma Metodu): İki değişkenli denklemlerde tam sayı çözümlerini bulmak için (x - a)(y - b) = k biçimine getirmek pratik bir yoldur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Kilogram ile gram birimlerini dönüştürmeden doğrudan 4{,}8 olarak işleme katmak.- Doğru Yaklaşım: Meyve ağırlıkları gram cinsinden verildiğinden 4{,}8\text{ kg} = 4800\text{ g} dönüşümünü ilk adımda yapmak.
Bu problemdeki cebirsel denklem kurma mantığını pekiştirmek için benzer bir sayısal mantık sorusu daha çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber adım 4’ten sonrasını anlayamadım yani adım 4’ü
Adım 4’ün Detaylı ve Adım Adım Açıklaması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- $\text{Meyve adedi (x)} \in \mathbb{Z}^+$ (Adet belirten bir değer daima pozitif tam sayı olmak zorundadır; buçuklu veya kesirli meyve poşetlenemez.)
- (x - 1) \cdot (E - 60) = 540 \implies x - 1 = \frac{540}{E - 60}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemdeki Değişkeni Elma Ağırlığı (E) Cinsinden Yazma
Adım 3’ün sonunda şu denkleme ulaşmıştık:
(x - 1)(P - 20) = 540
Soruda bizden bir elmanın ağırlığı (E) isteniyor. Sorunun başında elmanın portakaldan 40\text{ gram} ağır olduğu verilmişti:
E = P + 40 \implies P = E - 40
Şimdi bu P değerini denklemdeki yerine koyalım:
P - 20 = (E - 40) - 20 = E - 60
Böylece denklemimiz doğrudan aradığımız E cinsine dönüşür:
(x - 1)(E - 60) = 540
Adım 2 — Tam Sayı Mantığını Uygulama ve Seçenekleri İnceleme
x, her poşette bulunan portakal sayısıdır. Bir poşette 3{,}5 veya 4{,}2 tane portakal bulunamayacağı için:
- x bir pozitif tam sayı olmak zorundadır.
- Dolayısıyla (x - 1) ifadesi de bir tam sayı olmalıdır.
- Bu da demektir ki: (E - 60) değeri, 540’ı tam (kalansız) bölmek zorundadır.
Şimdi verilen seçenekleri tek tek deneyelim:
-
A) E = 180 olursa:
E - 60 = 180 - 60 = 120x - 1 = \frac{540}{120} = 4{,}5 \implies x = 5{,}5 \quad \text{❌ (Portakal adedi buçuklu olamaz)} -
B) E = 185 olursa:
E - 60 = 185 - 60 = 125x - 1 = \frac{540}{125} = 4{,}32 \quad \text{❌ (Tam bölünmez)} -
C) E = 190 olursa:
E - 60 = 190 - 60 = 130x - 1 = \frac{540}{130} \approx 4{,}15 \quad \text{❌ (Tam bölünmez)} -
D) E = 195 olursa:
E - 60 = 195 - 60 = 135x - 1 = \frac{540}{135} = 4 \implies x = 5 \quad \text{✅ (5 tam sayıdır!)} -
E) E = 200 olursa:
E - 60 = 200 - 60 = 140x - 1 = \frac{540}{140} \approx 3{,}85 \quad \text{❌ (Tam bölünmez)}
Adım 3 — Sağlama Yaparak Doğrulama
- x = 5 olduğunda: Her poşette 5 portakal vardır.
- Poşetlenen portakallar: 5 \times 5 = 25 adet.
- Poşetlenmeyen portakallar (20x): 20 \times 5 = 100 adet. (25, 100’ün \%25’idir, kural sağlandı.)
- Bir portakalın ağırlığı: P = E - 40 = 195 - 40 = 155\text{ gram}.
- Bu değerlerle toplam ağırlık farkı hesaplandığında tam olarak 4800\text{ gram} (4{,}8\text{ kg}) elde edilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 195
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Diophant (Tam Sayı) Mantığı: Nesne adedi (insan, meyve, poşet vb.) sayılabilir büyüklükler olduğu için denklemlerde daima pozitif tam sayı şartı aranır. Bu durum çoktan seçmeli sınavlarda seçenekleri test ederek sonuca saniyeler içinde ulaşmayı sağlar.
Bu adımın mantığı şimdi netleşti mi, kafana takılan başka bir ayrıntı var mı?
@Akademik_Rehber 60 olursa ne olacak E yani
E = 60 Olursa Ne Olur? (Matematiksel ve Mantıksal Açıklama)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Sıfıra bölme tanımsızdır: \frac{A}{0} = \text{Tanımsız } (A \neq 0)
- 0 \cdot k = 0 \neq 540 (Çelişki)
AÇIKLAMA VE İNCELEME:
Eğer bir elmanın ağırlığı E = 60\text{ gram} olsaydı, karşımıza hem matematiksel hem de fiziksel olarak iki büyük engel çıkardı:
1. Matematiksel Çelişki (Sıfıra Bölünme / İmkânsızlık)
Elimizdeki denklem:
(x - 1)(E - 60) = 540
Eğer E = 60 yazarsak:
(x - 1) \cdot (60 - 60) = 540
(x - 1) \cdot 0 = 540
0 = 540
- Bir sayının 0 ile çarpımı daima 0’dır, asla 540 olamaz. Bu durum bir matematiksel çelişkidir.
- Denklemi x - 1 = \frac{540}{E - 60} şeklinde yazarsak payda sıfır olur:x - 1 = \frac{540}{0} \implies \text{Tanımsız}Yani poşetteki portakal adedini (x) verebilecek hiçbir reel sayı bulunamaz.
2. Sorudaki Mantık Açısından (Fiziksel İmkânsızlık)
- E = 60\text{ gram} olsaydı, portakalın ağırlığı:P = E - 40 = 60 - 40 = 20\text{ gram}olurdu.
- Bu durumda poşetlenmeyen portakalların toplam ağırlığı:\text{Dışarıdakiler} = 20x \cdot 20 = 400x\text{ gram}
- Poşetlenenlerin toplam ağırlığı:\text{Poşettekiler} = 5x \cdot 20 + (5x + 10) \cdot 60 = 100x + 300x + 600 = 400x + 600\text{ gram}
- Aradaki farkı aldığımızda:400x - (400x + 600) = -600\text{ gram}
Görüldüğü gibi x’ler birbirini tamamen götürür ve poşetlenmeyen portakallar, poşetlenen meyvelerden 4800\text{ gram} fazla değil, aksine 600\text{ gram} daha hafif kalır. Bu durum soruda verilen şartı hiçbir x değeri için sağlayamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET:
E = 60 olamaz; çünkü bu değer denklemi tanımsız/çözümsüz kılar ve sorudaki 4{,}8\text{ kg}'lık ağırlık farkını matematiksel olarak imkânsız hale getirir. Bu yüzden E değeri mutlaka 60’tan farklı ve (E - 60) değeri 540’ı tam bölen bir sayı olmalıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Çarpanlara ayırma ve bu tür payda-kök analizleri hakkında başka bir örnek incelemek ister misin?
@sorumatik_ai ama soruyu çözerken en başta E’nin 60 olabileceğini düşünmem gerekiyor olamayacağın Daha doğrusu o yüzden hani sen direk şık bulup cevabı söyledin ya o olmuyor işte
Şıklara Bağımlı Olmadan: E > 60 Zorunluluğu ve Denklemin Saf Mantığı
Çok haklısın! Bir matematik sorusunda “şıkları yerine koyup denemek” işin pratik/test tekniği kısmıdır; ancak konuyu gerçekten kavramak için şıklara hiç bakmadan bu ifadenin nereden geldiğini ve E’nin neden 60’tan büyük olmak zorunda olduğunu görmek gerekir.
Şimdi bu mantığı şıklardan bağımsız olarak adım adım inceleyelim:
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Doğal Sayı Kısıtı: Bir sepetteki/poşetteki nesne sayısı negatif veya sıfır olamaz (x \in \mathbb{Z}^+).
- İşaret Kuralı: İki sayının çarpımı pozitif ise (+540), çarpanların işaretleri aynı olmak zorundadır.
ŞIKSIZ VE SİSTEMATİK ANALİZ:
Adım 1 — x’in (Portakal Sayısının) Doğal Sınırları
- x, bir poşetteki portakal adedidir.
- Bir poşette en az 1 portakal bulunmak zorundadır (x \ge 1).
Şimdi elde ettiğimiz denkleme bakalım:
(x - 1) \cdot (E - 60) = 540
- Eğer x = 1 olsaydı:(1 - 1) \cdot (E - 60) = 0 \cdot (E - 60) = 0 \neq 540Eşitlik sağlanamazdı.
- Demek ki bir poşette 1 portakal olamaz; en az 2 portakal olmak zorundadır:x \ge 2 \implies (x - 1) \ge 1 \quad \text{(Yani } x - 1 \text{ kesinlikle POZİTİF bir tam sayıdır.)}
Adım 2 — E > 60 Olmak Zorunda Olduğunun İspatı
Denklemimizin sağ tarafındaki sayı +540’tır (pozitif bir sayı).
(x - 1) \cdot (E - 60) = +540
- (x - 1) ifadesinin pozitif (+) olduğunu Adım 1’de belirledik.
- İki sayının çarpımının pozitif (+540) olabilmesi için ikinci çarpanın da kesinlikle pozitif (+) olması gerekir:(+) \cdot (+) = (+)
- Dolayısıyla:E - 60 > 0 \implies \mathbf{E > 60}
İşte bu yüzden, daha hiçbir sayı denemeden veya şıklara bakmadan; matematiksel olarak bir elmanın ağırlığının kesinlikle 60\text{ gram}'dan büyük olmak zorunda olduğunu doğrudan denklemden buluruz. E = 60 veya E < 60 durumları bu pozitiflik şartı nedeniyle doğrudan elenir.
Adım 3 — Neden Tek Bir Denklem ve İki Bilinmeyen Var?
Soruda x ve E gibi iki bilinmeyen varken elimizde tek bir net denklem kalmasının sebebi, bu sorunun bir Diophant (Tam Sayı Kısıtlı) Problemi olmasıdır.
(x - 1) = \frac{540}{E - 60}
Burada:
- x bir meyve adedi olduğu için (x - 1) bir pozitif tam sayı olmak zorundadır.
- Dolayısıyla (E - 60) sayısı da 540’ın bir pozitif böleni olmak zorundadır.
- 540’ın bölenleri şunlardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540.
Soru yazarı, günlük hayattaki gerçekçi elma ağırlıklarını (yaklaşık 150 - 200\text{ gram} arası) hedefleyerek E - 60 = 135 bölenini seçmiş ve şıkları buna göre kurgulamıştır:
E - 60 = 135 \implies E = 195\text{ gram}
x - 1 = \frac{540}{135} = 4 \implies x = 5\text{ adet}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET:
E’nin 60 olamayacağını veya 60’tan küçük olamayacağını şıklardan değil; poşetteki portakal adedinin x \ge 2 olması gerektiğinden ve pozitif iki sayının çarpımının +540 yapması kuralından (E - 60 > 0) anlarız.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Şimdi denklemin arkasındaki bu mantık ve kurgu zihninde tam olarak oturdu mu?