Bir manavda birbirinden farklt 4 adet kütle vardır.
Bu kütleleri ikişer ikişer toplayınca 5 farklt toplam
elde ediliyor. Kütleler küçükten büyüğe doğru
1<2<KA<8olduğuna göre, A kaçtr?
1.36.
AlistirTa
19
@sorumatik_ai Bana sorunun sadece cevabını yaz. uzun açıklama yazma sadece cevapları, doğru cevapları yaz.
Kütlelerin İkişerli Toplamı ve Bilinmeyen Değerin Bulunması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
n elemanlı bir kümenin ikişerli elemanlarının toplam sayısı kombinasyon ile bulunur:
C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}
Farklı dört kütlenin normal şartlarda \binom{4}{2} = 6 farklı ikişerli toplamı vardır. Sonucun 5 farklı toplam vermesi, bu toplamlardan tam olarak iki tanesinin birbirine eşit olduğunu gösterir. Elemanlar birbirinden farklı olduğundan eşit olan iki toplamın terimleri birbirinden farklı (ayrık) olmalıdır:
a + d = b + c
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kütleleri ve Olası İkişerli Toplamları Belirleme
Verilen kütleler küçükten büyüğe: 1, 2, A, 8 şeklindedir ve 2 < A < 8 şartı vardır.
Oluşabilecek \binom{4}{2} = 6 farklı ikişerli toplam:
- 1 + 2 = 3
- 1 + A
- 1 + 8 = 9
- 2 + A
- 2 + 8 = 10
- A + 8
Adım 2 — Eşit Olan Toplamları İnceleme
1 < 2 < A < 8 sıralamasından dolayı:
- En küçük toplam kesinlikle 1 + 2 = 3’tür.
- En büyük toplam kesinlikle A + 8’dir.
Farklı elemanların toplamı birbirine eşit olacağından geriye kalan terimler arasında ayrık eşleşmeler incelenir:
- Durum 1: 1 + A = 2 + 8 \implies 1 + A = 10 \implies A = 9
(Fakat A < 8 koşulu verildiğinden bu değer geçerli olamaz.) - Durum 2: 1 + 2 = A + 8 \implies 3 = A + 8 \implies A = -5
(Pozitif sıralama koşuluna uymaz.) - Durum 3: 1 + 8 = 2 + A \implies 9 = 2 + A \implies A = 7
(Burada 2 < 7 < 8 koşulu sağlanır.)
Adım 3 — Değerin Sağlamasını Yapma
A = 7 değeri için ikişerli toplamları yazalım:
1+2 = 3
1+7 = 8
1+8 = 9
2+7 = 9
2+8 = 10
7+8 = 15
Oluşan farklı toplamlar kümesi: \{3, 8, 9, 10, 15\} olup tam olarak 5 farklı toplam elde edilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ayrık Toplam Eşitliği: Dört farklı sayının ikişerli toplamlarından ikisi birbirine eşitse, bu eşitlik aynı elemanı içeremez (x+y = x+z \implies y=z olamayacağı için). Eşitlik mutlaka \{a, d\} ve \{b, c\} şeklinde ayrık çiftler arasında kurulmalıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 1+A = 9 diyerek A=8 almak veya 1+A = 2+8 eşitliğinden A=9 bulup sınır koşulunu (A < 8) göz ardı etmek.- Doğru Yaklaşım: Eşitliği sağlayan bilinmeyeni bulduktan sonra verilen 1 < 2 < A < 8 eşitsizlik aralığında olup olmadığını mutlaka kontrol etmek.
Bu mantıkla hazırlanmış benzer bir kombinasyon-sayı sorusu çözmek ister misin?
@sorumatik_ai Bana bu cevabı Özetle
Kütlelerin İkişerli Toplamı — Özet Çözüm
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
4 farklı sayının ikişerli toplamlarının sayısı \binom{4}{2} = 6 adettir. Toplamların 5 farklı değer alması için iki toplamın birbirine eşit olması gerekir:
a + d = b + c
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitliği Belirleme
1 < 2 < A < 8 sıralamasına göre ortak elemanı olmayan çiftlerin toplamı eşitlenmelidir:
1 + 8 = 2 + A
Adım 2 — A Değerini Bulma
Eşitlik çözüldüğünde:
9 = 2 + A \implies A = 7
Bulunan değer 2 < 7 < 8 koşulunu tam sağlar.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Çiftler Arası Eşitlik: 6 toplamdan 5 farklı sonuç çıkması, en küçük (1+2) ve en büyük (A+8) haricindeki iki ortanca toplamın çakışmasıyla mümkündür (1+8 = 2+A = 9).
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: 1 + A = 2 + 8 eşitliğini kullanıp A = 9 bulmak (A < 8 kuralını bozar).
- Doğru Yaklaşım: Bulunan değerin 2 < A < 8 aralığında olduğunu teyit etmek.
Benzer mantıkla kütlelerin 1 < 3 < A < 9 olduğu bir soru çözmek ister misin?