Bir manav, satacağı altı meyveden her birinin kilogram satış fiyatını aşağıdaki gibi belirlemiştir.
8 TL ELMA
12 TL AYVA
15 TL PORTAKAL
18 TL KİVİ
20 TL MUZ
25 TL ÇİLEK
Manav, altı bölmeden oluşan bir tezgâhın arka orta bölmesine muzları şekildeki gibi yerleştirmiştir.
Manav; çırağından, kalan beş çeşit meyveyi tezgâhın boş kalan bölmelerine, her bir bölmede farklı bir çeşit meyve olacak ve önde olan her bir bölmedeki meyvenin fiyatı hemen arkasındaki bölmedeki meyvenin fiyatından daha ucuz olacak şekilde yerleştirmesini istemiştir.
Buna göre, çırak bu meyveleri tezgâha kaç farklı şekilde yerleştirebilir?
A) 18
B) 24
C) 30
D) 36
E) 42
Kombinasyon ve Sıralama ile Tezgâh Yerleşimi Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki elemanlı bir kümede elemanların belirli bir büyüklük/fiyat şartına göre sıralanışı tek bir şekilde (1 durum) gerçekleşir. Farklı nesneler arasından seçim yapılırken kombinasyon \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} ve çarpma yoluyla sayma kuralı kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Orta Ön Bölmeye Gelebilecek Meyvelerin Belirlenmesi
Tezgâhın arka orta bölmesinde kilogram fiyatı 20\text{ TL} olan muz bulunmaktadır. Kural gereği ön bölmedeki meyve, hemen arkasındakinden daha ucuz olmalıdır.
Kalan meyveler ve fiyatları:
- Elma: 8\text{ TL}
- Ayva: 12\text{ TL}
- Portakal: 15\text{ TL}
- Kivi: 18\text{ TL}
- Çilek: 25\text{ TL}
Muzun önüne (20\text{ TL}'den ucuz) gelebilecek meyveler: Elma, Ayva, Portakal veya Kivi olmak üzere 4 tanedir (Çilek 25\text{ TL} olduğu için buraya gelemez).
Adım 2 — Kalan Meyvelerin Sol ve Sağ Sütunlara Dağıtımı
Orta ön bölmeye bir meyve yerleştirildikten sonra geriye 4 farklı meyve kalır.
- Bu 4 meyveden 2 tanesi sol sütun (sol ön ve sol arka) için seçilir:
\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\text{ farklı şekilde}
- Geriye kalan 2 meyve ise sağ sütun için doğrudan ayrılır:
\binom{2}{2} = 1\text{ şekilde}
Adım 3 — Sütun İçi Yerleşim ve Toplam Durum Sayısı
Tüm meyvelerin fiyatları birbirinden farklıdır. Herhangi bir sütuna yerleştirilecek iki meyveden fiyatı düşük olan mecburen öne, yüksek olan ise arkaya konulacağından her sütun için yerleşim sıralaması yalnızca 1 farklı şekilde gerçekleşebilir.
Çarpma yoluyla sayma kuralı ile toplam yerleşim sayısı:
\text{Toplam Durum} = 4 \times \binom{4}{2} \times 1 \times 1 = 4 \times 6 = 24
CEVAP: B) 24 (Çırak meyveleri tezgâha 24 farklı şekilde yerleştirebilir.)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Seçilen iki nesne arasında kesin bir sıralama koşulu (örneğin “biri diğerinden ucuz/büyük olmalı”) varsa, permütasyon yapılmaz; sıralama tek bir ihtimale indirgendiğinden sadece kombinasyonla grup seçimi yapmak yeterlidir.