Bir mağazada çalışan Esra'ya, patronu aşağıdaki şekilde gösterilen 5 bölmeden oluşmuş bir rafa gömlekleri;

Question Answer
1

Bir mağazada çalışan Esra’ya, patronu aşağıdaki şekilde gösterilen 5 bölmeden oluşmuş bir rafa gömlekleri;

  • Beş bölmenin her birinde en az bir gömlek olacak
  • Her bölmede farklı sayıda gömlek olacak
  • En fazla gömlek bulunan iki bölmede, diğer üç bölmedeki gömleklerin toplamı kadar gömlek olacak
    şekilde yerleştirmesini söylüyor.
    Buna göre Esra’nın beş bölmeye yerleştireceği gömlek sayısı en az kaçtır?
    A) 30
    B) 34
    C) 38
    D) 28
    E) 27

Bir mağazada çalışan Esra'ya, patronu aşağıdaki şekilde gösterilen 5 bölmeden oluşmuş...
Bir mağazada çalışan Esra'ya, patronu aşağıdaki şekilde gösterilen 5 bölmeden oluşmuş...1024×768 128 KB

2

Raftaki Toplam Gömlek Sayısının En Küçük Değeri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Beş bölmedeki farklı gömlek sayıları küçükten büyüğe a < b < c < d < e olsun (a, b, c, d, e \in \mathbb{Z}^+).
  • En fazla gömlek bulunan iki bölme d ve e, diğer üç bölme ise a, b ve c’dir.
  • Verilen kural gereği:
    d + e = a + b + c
  • Toplam gömlek sayısı:
    \text{Toplam} = (a + b + c) + (d + e) = 2 \cdot (d + e)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenler Arasındaki Eşitsizlik Sınırını Belirleme
Bölmelerdeki gömlek sayıları birbirinden farklı tam sayılar olduğundan, c < d eşitsizliğine göre a, b, c değerleri d’den küçük olmak zorundadır. a + b + c toplamının alabileceği en büyük değer, sayıların d’ye en yakın seçildiği durumdur:

c \le d - 1
b \le d - 2
a \le d - 3

Taraf tarafa toplarsak:

a + b + c \le (d - 3) + (d - 2) + (d - 1) = 3d - 6

Adım 2 — d Değeri İçin Alt Sınırı Bulma
d + e = a + b + c eşitliğini eşitsizlikte yerine yazalım:

d + e \le 3d - 6 \implies e \le 2d - 6

Ayrıca e > d olduğundan (e \ge d + 1):

d + 1 \le 2d - 6
7 \le d

En küçük toplamı aradığımız için d’nin en küçük tam sayı değeri olan d = 7 seçilir.

Adım 3 — Değerleri Oluşturma ve Toplamı Hesaplama

  • d = 7 için:
    d + 1 \le e \le 2d - 6 \implies 8 \le e \le 2(7) - 6 = 8
    Buradan e = 8 olmak zorundadır.
  • İki büyük bölmenin toplamı:
    d + e = 7 + 8 = 15
  • Diğer üç bölmenin toplamı da 15 olmalıdır (a + b + c = 15):
    c = 6, \quad b = 5, \quad a = 4
    4 + 5 + 6 = 15
    Tüm sayılar (4 < 5 < 6 < 7 < 8) birbirinden farklı ve pozitiftir.

Toplam gömlek sayısı:

\text{Toplam} = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 30
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Tam Sayılarda Sıralama ve Eşitsizlik: Toplamı minimum yaparken birbirine en yakın ve ardışık ardışık elemanlar seçilerek alt sınırlar belirlenir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: En küçük pozitif tam sayılar olan a=1, b=2, c=3 seçilirse a+b+c=6 olur. Bu durumda d+e=6 olması için d ve e’nin c=3’ten büyük olma şartı sağlanamaz.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: a < b < c < d < e sıralamasını ve d+e = a+b+c eşitliğini aynı anda sağlayacak cebirsel sınır (d \ge 7) dikkate alınmalıdır.

Bu tür eşitsizlik ve tam sayı kurgulu soruları pekiştirmek için benzer bir örnek daha çözmek ister misin?