Bir laboratuvarda A türü bakteriler her 15 dakikada bir 2 katına çikmakta, B türű bakteriler her 20 dakikada bir 4

YKS TYT
1

TYTITEM
Bir laboratuvarda A türü bakteriler her 15 dakikada
bir 2 katına çikmakta, B türű bakteriler her 20 dakikada
bir 4 katına çikmaktadır.
Başlangıçta A kabında 81°, B kabında 4° tane
bakteri olduğuna göre kaçıncı saatin sonunda iki
kaptaki bakteri sayıiları birbirine eşit olur?
A) 6
B) 7
C)8
D) 9
E) 10

TYTITEM Bir laboratuvarda A türü bakteriler her 15 dakikada bir 2 katına çikmakta, B...
TYTITEM Bir laboratuvarda A türü bakteriler her 15 dakikada bir 2 katına çikmakta, B...1024×757 95.9 KB

2

Bir laboratuvarda A türü bakteriler her 15 dakikada bir 2 katına çıkmakta, B türü bakteriler her 20 dakikada bir 4 katına çıkmaktadır. Başlangıçta A kabında 8^{10}, B kabında 4^5 tane bakteri olduğuna göre kaçıncı saatin sonunda iki kaptaki bakteri sayıları birbirine eşit olur?

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE ÜSLÜ SAYI ÖZELLİKLERİ:
Geçen süre t dakika olsun:

  • A bakterisi için artış dönemi sayısı: \frac{t}{15}
  • B bakterisi için artış dönemi sayısı: \frac{t}{20}
  • 8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30}
  • 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}
  • t dakikalık süre sonunda bakteri sayıları:
    • A türü: Başlangıç \times 2^{\frac{t}{15}}
    • B türü: Başlangıç \times 4^{\frac{t}{20}} = (2^2)^{\frac{t}{20}} = 2^{\frac{2t}{20}} = 2^{\frac{t}{10}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Başlangıç bakteri sayılarını 2 tabanında ifade etme

  • A kabındaki başlangıç bakteri sayısı:
    8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30}
  • B kabındaki başlangıç bakteri sayısı (soruda 81^{10} olarak okunabilecek görüntü OCR hatasıdır, görseldeki orijinal soruda 8^{10} ve 4^5 verilmiştir):
    4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}

Adım 2 — t dakika sonraki bakteri sayılarını formüle etme
Geçen süreyi dakika cinsinden t olarak alalım.

  • A bakterisi her 15 dakikada bir 2 katına çıktığı için t dakikada \frac{t}{15} kez 2 ile çarpılır:

    \text{A}(t) = 8^{10} \cdot 2^{\frac{t}{15}} = 2^{30} \cdot 2^{\frac{t}{15}} = 2^{30 + \frac{t}{15}}

  • B bakterisi her 20 dakikada bir 4 katına (2^2 katına) çıktığı için t dakikada \frac{t}{20} kez 4 ile çarpılır:

    \text{B}(t) = 4^5 \cdot 4^{\frac{t}{20}} = 2^{10} \cdot (2^2)^{\frac{t}{20}} = 2^{10} \cdot 2^{\frac{2t}{20}} = 2^{10 + \frac{t}{10}}

Adım 3 — İki bakteri sayısını birbirine eşitleme
İki kaptaki bakteri sayılarının eşit olduğu an için üsleri birbirine eşitleriz:

2^{30 + \frac{t}{15}} = 2^{10 + \frac{t}{10}}

Tabanlar aynı olduğu için üsler eşittir:

30 + \frac{t}{15} = 10 + \frac{t}{10}

Adım 4 — Denklemi çözme
Bilinenleri ve bilinmeyenleri bir araya getirelim:

30 - 10 = \frac{t}{10} - \frac{t}{15}

Paydaları 30’da eşitleyelim:

20 = \frac{3t}{30} - \frac{2t}{30}
20 = \frac{t}{30}
t = 20 \times 30 = 600 \text{ dakika}

Adım 5 — Dakikayı saate çevirme
Bulunan süreyi saat cinsine dönüştürmek için 60’a böleriz:

\text{Saat} = \frac{600}{60} = 10 \text{ saat}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Üslü Sayılarda Taban Değiştirme

  • Tanım: Farklı tabanlara sahip üslü ifadelerin işlemlerini kolaylaştırmak için aynı tabanda yazılması kuralıdır.
  • Bu problemde: 8 ve 4 sayıları 2 tabanına dönüştürülerek denklemin çözümü pratikleştirilmiştir (8 = 2^3, 4 = 2^2).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Üs Oranı Kullanmak

  • Yanlış: B türü bakterinin 20 dakikada bir 4 katına çıkmasını direkt \frac{t}{20} ile çarpmak.
  • Doğru: 4 sayısı 2^2 olduğu için oran \frac{2t}{20} = \frac{t}{10} olarak hesaplanmalıdır.
  • Neden yanlış: 4 katı demek tabanı 2 olan sistemde 2^2 katı demektir, bu da üssün 2 ile çarpılmasını gerektirir.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir üslü sayı ve oran-orantı problemi çözmemi ister misin?