Bir kütüphane sorumlusu olarak çalışan Samet kütüphanedeki kitapların her birini üzerinde bir doğal sayı olacak şekilde 1’den başlığı ardışık doğal sayılarla numaralandırılmış bu kitaplardan üzerindeki numarası için 3 ün pozitif tam sayı kuvvetine eşit olan kitap sayısı ile 2’nin pozitif tam sayı kuvvetin eşit olan kitap sayısı toplam 16’dır buna göre kütüphanedeki kitap sayısı en fazla kaçtır?
Bir kütüphane sorumlusu olarak çalışan Samet kütüphanedeki kitapların her birini üzerinde bir doğal sayı olacak şekilde 1’den başlığı ardışık doğal sayılarla numaralandırılmış bu kitaplardan üzerindeki numarası için 3’ün pozitif tam sayı kuvvetine eşit olan kitap sayısı ile 2’nin pozitif tam sayı kuvvetine eşit olan kitap sayısı toplam 16’dır. Buna göre kütüphanedeki kitap sayısı en fazla kaçtır?
Problem İncelemesi
- Kitap numaraları 1, 2, 3, ..., n şeklinde artan doğal sayılarla numaralandırılmıştır.
- 3'ün pozitif tam sayı kuvveti olan kitapların sayısı ile
- 2'nin pozitif tam sayı kuvveti olan kitapların sayısının toplamı 16'dır.
Burada pozitif tam sayı kuvvetlerine bakalım:
- Pozitif tam sayı kuvvetleri: a^k — burada a taban ve k pozitif tam sayı (k \geq 1).
- 3’ün kuvvetleri: 3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243, 3^6=729, ...
- 2’nin kuvvetleri: 2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^9=512, 2^{10}=1024, ...
Hedef:
- $3$’ün pozitif tam sayı kuvvetleriyle numaralanmış kitapların sayısı ile
- $2$’nin pozitif tam sayı kuvvetleriyle numaralanmış kitapların sayısı toplamı 16 ise,
- Kitap sayısı n en fazla kaç olabilir?
Çözüm Adımları
Öncelikle, problemde bir kitap numarası hem 2'nin hem 3'ün kuvvetiyle eşit olan sayılar olmadığı için bu iki küme birbirini kesmez.
- S_2 = \{2, 4, 8, 16, ..., 2^k \leq n\}
- S_3 = \{3, 9, 27, 81, ..., 3^m \leq n\}
Toplam sayı:
|S_2| + |S_3| = 16
Burada bilinmeyen n için k ve m değerlerini bulalım.
1. |S_2| sayısını bulalım
|S_2| sayısı, 2^k \leq n koşulunu sağlayan pozitif tam sayı k'lerin sayısı demektir.
Eğer
2^{k} \leq n < 2^{k+1}
ise
|S_2| = k
Benzer şekilde
2. |S_3| sayısını bulalım
3^m \leq n < 3^{m+1} ise
|S_3| = m
3. k + m = 16 şartını sağlayan en büyük $n$’yi bulalım
O halde
n \geq \max(2^k, 3^m)
ve
k + m = 16
Farklı k, m değerleri için n'yi hesaplayalım ve en büyük n'yi bulalım.
4. Liste yapalım
| k (2’nin kuvveti sayısı) | m (3’ün kuvveti sayısı) | 2^k | 3^m | \max(2^k, 3^m) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 15 | 2^1=2 | 3^{15} | 3^{15} |
| 2 | 14 | 2^2=4 | 3^{14} | 3^{14} |
| 3 | 13 | 2^3=8 | 3^{13} | 3^{13} |
| 4 | 12 | 2^4=16 | 3^{12} | 3^{12} |
| 5 | 11 | 2^5=32 | 3^{11} | 3^{11} |
| 6 | 10 | 2^6=64 | 3^{10} | 3^{10} |
| 7 | 9 | 2^7=128 | 3^{9} | 3^{9} |
| 8 | 8 | 2^8=256 | 3^{8} | 3^{8} |
| 9 | 7 | 2^9=512 | 3^{7} | 3^{7} |
| 10 | 6 | 2^{10}=1024 | 3^{6} = 729 | 1024 |
| 11 | 5 | 2^{11}=2048 | 3^{5}=243 | 2048 |
| 12 | 4 | 2^{12}=4096 | 3^{4}=81 | 4096 |
| 13 | 3 | 2^{13}=8192 | 3^{3}=27 | 8192 |
| 14 | 2 | 2^{14}=16384 | 3^{2}=9 | 16384 |
| 15 | 1 | 2^{15}=32768 | 3^{1}=3 | 32768 |
Not: 3^{15} gibi çok büyük sayılar > 2^{15}'ten büyük olduğundan, tabloda büyük olan değer o seçilir.
Ancak çok büyük sayılar gerçekçi değil, çünkü kitaplar ardışık sayılarla belirtilmiş ama toplam sayının büyüklüğü soruluyor.
5. Gerçekçi değerleri bulalım
Kitap sayısı doğal ve çok büyük olmayabilir.
Tabloda en büyük n'ye ulaşmak için \max(2^k, 3^m) en büyük olmalıdır.
Yani, k + m = 16 iken, \max(2^k, 3^m) en küçük olursa n minimum olur, en büyük olursa n maksimum olur.
Şimdi, k=10, m=6 örneğine bakalım:
- 2^{10} = 1024
- 3^{6} = 729
- \max = 1024
İyi bir büyüklük.
Bu durumda:
- |S_2| = 10 (2’nin pozitif kuvvetlerinden 10 tane var)
- |S_3| = 6 (3’ün pozitif kuvvetlerinden 6 tane var)
- Toplam 16.
6. En büyük $n$’yi seçelim
En büyük $n$’yi bulmak için k ve $m$’nin değerlerini değiştirip maksimum \max(2^k, 3^m) değerini inceleyelim.
- k=10, m=6 → max = 1024
- k=9, m=7 → max = \max(512, 2187) = 2187
- k=8, m=8 → max = \max(256, 6561) = 6561
- k=7, m=9 → max = \max(128, 19683) = 19683
- k=6, m=10 → max = \max(64, 59049) = 59049
- k=5, m=11 → max = \max(32, 177147) = 177147
- k=4, m=12 → max = \max(16, 531441) = 531441
- k=3, m=13 → max = \max(8, 1594323) = 1594323
- k=2, m=14 → max = \max(4, 4782969) = 4782969
- k=1, m=15 → max = \max(2, 14348907) = 14348907
Burada dikkat etmemiz gereken kitap sayısı ardışık ve doğal sayılarla veriliyor ve kütüphane için mantıklı en yüksek kitap sayısını sormaktadır.
Eğer m çok büyük olursa, çok büyük sayı çıkacak ama kitap sayısı için fazla yüksek.
7. Toplam kitap sayısının en fazla olması için toplam sayı en küçük maksimum olmalı
Burada kitap numaraları 1’den n'ye kadar sayılıyor.
S_2 ve S_3 kümesi elemanlarının toplamı 16.
Bu nedenle, n değeri en küçük küme boyutlarının toplamını karşılayacak ve k + m = 16 olacak şekilde seçilmeli.
Bu durumda kitap sayısı en fazla ne olabilir?
8. En uygun değer
- k = 10, m = 6 → top 16
- k=9, m=7 → top 16
- k=8, m=8 → top 16
Bu değerler içinde \max(2^k, 3^m) minimum olduğunda kitap sayısı da minimum olacak, en fazla kitap sayısı ise maksimum değerde.
Yani:
Kitap sayısı en fazla: 3^{15} = 14348907 gibi büyük değerler çıkıyor ama mantıklı değil, çünkü genelde orta büyüklükte sayı istenir.
9. Sonuç olarak:
Toplam 16 sayının pozitif kuvvetleri için:
- Eğer kitap sayısı n ise,
- |S_2| = k ve |S_3| = m ise
- k + m = 16 ve
- n \geq \max(2^k, 3^m)
k ve m pozitif tam sayılar olduğu için k = 10, m = 6 toplam 16 olayı sağlayabilir ve
n \geq \max(2^{10}, 3^{6}) = \max(1024, 729) = 1024
Kitap sayısı bu durumda en fazla 1024 olabilir.
Cevap:
Kütüphanedeki kitap sayısı en fazla 1024’tür.
Özet Tablosu
| k (2’nin kuvvetleri sayısı) | m (3’ün kuvvetleri sayısı) | Toplam k+m | \max(2^k, 3^m) | Not |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 6 | 16 | 1024 | Makul en büyük kitap sayısı |
| 9 | 7 | 16 | 2187 | Daha büyük sayı |
| 8 | 8 | 16 | 6561 | Büyük, ama daha az mantıklı |
| 7 | 9 | 16 | 19683 | Çok büyük |
Eğer kütüphanede kitap sayısı en fazla olmalı ise minimum \max(2^k, 3^m) olması en iyisidir, yani
**
\boxed{1024}
**
@Arzu_Ateş1