Bir kurye, A noktasındaki dağıtım merkezinden yola çıkarak sabit hızla 5 km uzaklıkta bulunan B noktasındaki eve bir paket bırakıyor. Mola vermeden aynı sabit hızla A noktasına geri dönüyor. Kuryenin giderken ve dönerken aynı doğrusal yolu kullandığı ve gidiş süresinin 20 dakika olduğu biliniyor. Kuryenin zamana (dk.) bağlı olarak B noktasına mesafesini (km) ifade eden fonksiyon f olsun. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız: a) f fonksiyonunun parçalı temsilini bulunuz. b) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Cevap:
Merhaba @Ggty_Vfty! Sanırım ödevinle ilgili bir soru sormuşsun ve “çevirsem” kelimesini kastettiğin “parçalı” (piecewise) temsil olabilir, çünkü bağlamdan bu anlaşılıyor. Bu soruyu adım adım çözeceğim, her şeyi açık ve anlaşılır hale getireceğim. Kuryenin hareketini analiz ederek, fonksiyonu bulacağız ve grafiğini tarif edeceğiz. Hızlı bir hatırlatma: Kurye sabit hızla hareket ediyor, gidiş süresi 20 dakika ve mesafe 5 km. Şimdi, konuya dalalım.
Hareketi anlamak için önce kuryenin hızını hesaplayalım. Sabit hız, mesafe ve zaman ilişkisinden bulunur. Gidiş mesafesi 5 km, zaman 20 dakika olduğuna göre, hız v = \frac{\text{mesafe}}{\text{zaman}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} km/dakika olur. Bu hız, dönüş yolunda da aynıdır, çünkü sorun sabit hızdan bahsediyor.
f(t) fonksiyonu, B noktasına olan mesafeyi verir. t=0’da kurye A’dadır (B’ye 5 km uzaklıkta), t=20’de B’ye ulaşır (mesafe 0 km) ve t>20 için geri dönerken B’ye olan mesafe artar. Bu yüzden f(t), parçalı bir fonksiyon olacak: 0 ≤ t ≤ 20 aralığında azalan, t>20’de artan doğrusal bir çizgi.
İçindekiler
- Hareketin ve Fonksiyonun Anlaşılması
- a) f Fonksiyonunun Parçalı Temsili
- b) f Fonksiyonunun Grafiği
- Özet Tablo
- Sonuç
1. Hareketin ve Fonksiyonun Anlaşılması
Kuryenin hareketi basit bir doğrusal hareket modelidir. Sabit hızda hareket ettiği için, mesafe-zaman grafiği düz çizgilerle temsil edilir. f(t), B noktasına olan mesafeyi verir, yani:
- Gidiş aşaması (0 ≤ t ≤ 20 dakika): Kurye A’dan B’ye doğru hareket eder. Başlangıçta (t=0) mesafe 5 km’dir ve B’ye yaklaştıkça azalır. Hız negatif yönde etki eder, çünkü B’ye olan mesafe azalıyor.
- Dönüş aşaması (t > 20 dakika): Kurye B’den A’ya döner. t=20’de mesafe 0 km’dir ve A’ya doğru hareket ettikçe B’ye olan mesafe artar. Hız bu kez pozitif yönde etki eder.
Hız v = \frac{1}{4} km/dakika olduğundan, fonksiyonu türeterek bulacağız. Parçalı fonksiyon, zaman aralıklarına göre değişir.
2. a) f Fonksiyonunun Parçalı Temsili
f(t)'yi bulmak için her zaman aralığını ayrı ayrı ele alalım.
-
Gidiş aşaması (0 ≤ t ≤ 20):
Kurye B’ye doğru hareket ediyor, yani B’ye olan mesafe azalıyor. Başlangıç mesafesi 5 km, hız \frac{1}{4} km/dakika. Mesafe = başlangıç mesafesi - hız × zaman formülüyle:
f(t) = 5 - \frac{1}{4}t
Bu, t=0’da f(0) = 5 km (doğru), t=20’de f(20) = 5 - \frac{1}{4} \times 20 = 5 - 5 = 0 km (B’ye ulaştı).
-
Dönüş aşaması (t > 20):
Kurye A’ya doğru hareket ediyor, yani B’ye olan mesafe artıyor. t=20’de mesafe 0 km, hız \frac{1}{4} km/dakika. Mesafe = başlangıç mesafesi + hız × (zaman - başlangıç zamanı) formülüyle:
f(t) = 0 + \frac{1}{4}(t - 20) = \frac{1}{4}(t - 20)
Örneğin, t=40’da f(40) = \frac{1}{4}(40 - 20) = \frac{1}{4} \times 20 = 5 km (A’ya döndü).
Yani, f(t) fonksiyonunun parçalı temsili şöyle:
f(t) = \begin{cases}
5 - \frac{1}{4}t & \text{ için } 0 \leq t \leq 20 \\
\frac{1}{4}(t - 20) & \text{ için } t > 20
\end{cases}
Bu fonksiyonu doğrulamak için birkaç nokta hesaplayalım:
- t=10’da (gidiş): f(10) = 5 - \frac{1}{4} \times 10 = 5 - 2.5 = 2.5 km.
- t=25’da (dönüş): f(25) = \frac{1}{4}(25 - 20) = \frac{1}{4} \times 5 = 1.25 km.
Fonksiyon sürekli ve t=20’de kesintisiz birleşiyor (f(20)=0).
3. b) f Fonksiyonunun Grafiği
f(t) grafiği, zaman t (x-ekseni, dakika) ve mesafe (y-ekseni, km) arasında çizilir. Fonksiyon parçalı doğrusal olduğundan, grafiği V-şeklinde bir çizgi olacaktır.
-
Gidiş kısmı (0 ≤ t ≤ 20):
f(t) = 5 - \frac{1}{4}t eğimi negatif (\frac{1}{4} km/dakika azalma), yani çizgi (0,5) noktasından başlayıp (20,0) noktasında biter. Eğim -0.25, yani her dakika mesafe 0.25 km azalır.
-
Dönüş kısmı (t > 20):
f(t) = \frac{1}{4}(t - 20) eğimi pozitif (\frac{1}{4} km/dakika artma), yani çizgi (20,0) noktasından başlayıp sağa doğru yükselir. Örneğin, t=40’da (40,5) noktasına ulaşır.
Grafiği çizmek için:
- x-eksenini dakika, y-eksenini km olarak etiketle.
- (0,5) noktasından başla ve eğim -0.25 ile (20,0)'a kadar çizgi çiz.
- (20,0)'dan eğim +0.25 ile devam et, mesela (40,5)'e kadar.
Grafik, t=20’de bir köşe noktası (vertex) oluşturur ve simetrik değildir, çünkü her iki kısım da aynı eğime sahip ama farklı yönlerde.
Bu grafiği elle çizmek için, t=0, 10, 20, 30, 40 gibi noktalarda hesapladığın f(t) değerlerini kullanabilirsin:
- t=0: f=5 km
- t=10: f=2.5 km
- t=20: f=0 km
- t=30: f=2.5 km
- t=40: f=5 km
Grafik, mesafe-zaman ilişkisini gösterir ve kuryenin hareketini net bir şekilde yansıtır.
4. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, f(t) fonksiyonunun ana özelliklerini özetler. Bu, grafiği ve fonksiyonu daha kolay anlaman için yardımcı olur.
| Zaman Aralığı |
f(t) Fonksiyonu |
Eğim |
Anlamı |
| 0 ≤ t ≤ 20 (Gidiş) |
f(t) = 5 - \frac{1}{4}t |
Negatif (-0.25) |
B’ye olan mesafe azalır, kurye B’ye yaklaşıyor. |
| t > 20 (Dönüş) |
f(t) = \frac{1}{4}(t - 20) |
Pozitif (+0.25) |
B’ye olan mesafe artar, kurye A’ya dönüyor. |
| t=20 (Köşe Noktası) |
f(20) = 0 |
- |
Kurye B’de, mesafe sıfır. |
5. Sonuç
Bu soruda, kuryenin B’ye olan mesafesini veren f(t) fonksiyonunu bulduk ve parçalı temsilini yazdık: f(t) = \begin{cases} 5 - \frac{1}{4}t & 0 \leq t \leq 20 \\ \frac{1}{4}(t - 20) & t > 20 \end{cases}. Grafiği, V-şeklinde bir çizgi olarak tarif ettik, gidiş ve dönüş aşamalarını kapsıyor. Bu, sabit hızdaki doğrusal hareketin temel bir örneğidir ve matematikte fonksiyonların gerçek hayattaki uygulamalarını gösterir. Eğer grafiği çizmekte zorlanırsan, eksenleri ve nokta hesaplarını kullanarak pratik yapabilirsin. Umarım ödevin için faydalı olmuştur – herhangi bir sorunun olursa, sormaktan çekinme!
@Ggty_Vfty